allgemeine Lösung Differenzialgleichungssystem

Question

Bestimmen sie die allgemeine Lösung des Differenzialgleichungssystems

Aufgabe:

\( \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\left(\begin{array}{cc}-6 & -4 \\ 1 & -1\end{array}\right) \boldsymbol{x}(t) \)

Ansatz:
Eigenwerte berechnen λ1: -2  , λ2 = -5

Eigenvektoren berechnen:
λ1=-2
x1 = -x2,
x2 = x2

λ2=-5
x1 = -4*x2
x2 = x2

Wäre die allgemeine Form dann:

\begin{pmatrix} y1\\y2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -c1 & -4c2 \\ c1 & c2 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} e^{-2x}\\e^{-5x} \end{pmatrix} ?

Answer 1

Hallo,

die allgemeine Lösung lautet:

x(t)=C₁ e^(-2t) \( \begin{pmatrix} -1\\1\\ \end{pmatrix} \)  +C₂ e^(-5t) \( \begin{pmatrix} -4\\1\\ \end{pmatrix} \)

Comments

vielen Dank. Muss ich genau gleich vorgehen, falls die Eigenwerte komplexe Zahlen sind?

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das Verfahren ist das Gleiche. Die komplexen Zahlen wandelst Du via Eulerformel um in  sin und cos Ausdrücke.

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ich habe jetzt für die Aufgabe die Eigenwerte y1/2= -3 +- 2i und die Eigenvektoren(-3-2i):

x1= -5+2i *x2

x2 = x2

und Eigenvektoren zum Wert(-3+2i):

x1 = (-5 -2i) *x2

x2 = x2

wie wäre hier jetzt die allgemeine Lösung?

mfg