Schätzfunktionen Statistik

Question

Aufgabe:

Welche der Schätzfunktionen T1 = X¯ und T2 = (X1+Xn)/2
gleichmäßig wirksamer für E[X].

Lsg.: Var[T1] = n^-1 * Var[X1],  Var[T2] = 0.5 · Var[X1]


Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand dringend zeigen wie man auf diese Lösungen kommt

wäre so dankbarrr

Dankee

Answer 1

Hallo,

für die Varianz von \( Y = aX + b \) gilt \( V(Y) = a^2 V(X) \).

Daher ist

\( V(T_1) = V\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) \)
\( = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n V(X_i) \)
\( = \frac{1}{n^2} n V(X_i) \)
\( = \frac{1}{n} V(X_i) \)

und

\( V(T_2) = \frac{1}{4} 2 V(X_i) = \frac{1}{2} V(X_i) \)

für die identisch und anabhängig verteilten \( X_i \).

Für \( n > 2 \) ist offensichtlich \( V(T_1) < V(T_2) \). Daher ist \( T_1 \) wohl wirksamer (im Sinne der Aufgabenstellung) als \( T_2 \).

Grüße

Mister

PS: Für die Varianz linearer Transformation \( Y = aX + b \) siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_(Stochastik)#Lineare_Transformation.