Zeigen Sie mit Hilfe der Differentialgleichung, dass f streng monoton wachsend ist (Differentialgleichung)

Question

Die Funktion \( f \) sei die Lösung der folgenden Differentialgleichung mit Anfangsbedingung:

\( f^{\prime}(x)=1+(f(x))^{2}, \quad f(0)=0 \)

a) Zeigen Sie mit Hilfe der Differentialgleichung, dass \( f \) streng monoton wachsend ist.

b) Bestimmen Sie das Taylorpolynom 3. Grades von \( f \) in der Entwicklungsstelle \( x_{0}=0 \).

Ansatz:

Muss man bei b) nicht einfach 3 mal bzw. 4 mal die Funktion ableiten und dann enfach das taylorpolynom aufstellen?

Answer 1

Ich sitze ja auch grade an dieser wundervollen Aufgabe...

Zu a) würde ich sagen: Du hast ja die 1. Ableitung gegeben, diese ist bekanntermaßen die Steigung.

Wenn du also darstellen könntest, dass die 1. Ableitung immer größer 0, also positiv ist, sollte die Funktion also steigend sein, da wenn diese größer 0 ist, der nächste Wert immer größer als der vorherige ist. Oder nicht?