Maximale Definitionsbereich und Extremalstellen bestimmen

Question

Gegeben ist die Funktion \( f: D \rightarrow \boldsymbol{R} \) mit \( f(x):=\sqrt{\frac{3+x^{2}}{x+1}} \).

a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich \( D \) von \( f \).

b) Untersuchen Sie \( f \) auf lokale und globale Extremstellen.

Answer 1

Hi,

"zusammen lösen" ist doch mal ein (bzw. zwei) Wort(e)!


a) Nun, Definitionsbereich bedeutet ja letztlich nichts anderes, als dass der Radikand nicht-negativ sein muss.

Man beachte außerdem, dass der Bruch nicht 0 sein darf.

Bilde also:


$$\frac{3+x^2}{x+1}\leq0$$


Zur Kontrolle: x>-1


b) Bilde die Ableitung. Achte auf die Kettenregel (innere Ableitung)


Grüße

(P.S.: Essen)

Comments

a) Das ist doch die Fallunterscheidung, also für x einfach einsetzen oder?

b)
$$ \frac { x }{ \sqrt { x+1 } *\quad \sqrt { { x }^{ 2 }+3 }  } -\frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+3 }  }{ 2*(x+1)^{ \frac { 3 }{ 2 }  } } $$

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a) Wie meinst Du das? Also generell ist das über "einsetzen" lösbar. Man muss aber ein paar Sachen sagen.


b) Das ist richtig. Ich würde es auf einen Bruchstrich schreiben. Du willst ja die Extrema haben, musst also 0 setzen


$$f'(x) = \frac{x^2+2x-3}{2(x+1)^2\sqrt{\frac{x^2+3}{x+1}}} = 0$$

Da brauchts nämlich nur noch den Zähler anzuschauen ;).

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a) -1 kann ich ja nicht einsetzen, also meinst du alle werte größer als -1. Das ist dann der "Anfang" meines Definitionsbereiches oder? Und was meinst du mit, "muss man noch paar Sachen sagen"

b)

Meine Kandidaten für Extrema sind die x-Koordinaten 1 und -3

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a) Sich nur die Stelle x = -1 bzw. die Werte drüber und drunter anzuschauen ist nicht ausreichend. Folgende Argumentation wäre möglich:


Der Zähler ist immer >0, da x^2 im Spiel ist. Es muss also nur geschaut werden, wann der Nenner negativ ist, denn dann ist das auch für den Bruch der Fall. Für x<-1 ist der Bruch/Nenner negativ, somit muss x>-1 sein (x = -1 ist ja nicht erlaubt, da sonst eine 0 im Nenner wäre).


b)

Das ist richtig. Außerdem muss x = -1 untersucht werden und das Verhalten für x→∞, da Du ja auch an globalen Extrema interessiert bist ;).

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Kannste mir den Ansatz für beide geben bitte :/

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Welchen Ansatz?

Die Randwerte? Für x = -1 nutze die h-Methode

für x→∞ braucht man nur zu sagen "Zählergrad > Nennergrad", also strebt das ganze gegen unendlich ;).

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Weiß nicht genau was ich machen soll :/

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Ich sitze auch grad an der Hausaufgabe und habe einige Fragen, ich hoffe ich kann sie hier mit reinschreiben.

 

Ich habe zunächst noch die Ränder überprüft, also den Grenzwert für x → ∞ und für x → -1.

Dort habe ich für beide einen Grenzwert → ∞ als Ergebnis erhalten, woraus ich schließen würde, dass es an den Randstellen keine Extrema gibt.

 

Nun habe ich ja durch die erste Ableitung (notwendige Bedingung), die oben schon genannt wurde erfahren, dass bei x₁=1 und bei x₂=-3 ein Extrema sein könnte.

x=-3 habe ich ausgeschlossen, da dies nicht im Definitionsbereich liegt. Nun müsste m.E. die 2. Ableitung gebildet werden, da diese hinreichende Bedingung  ist. Leider weiß ich überhaupt nicht, welche Ableitungsregeln dort an welcher Stelle greifen sollen.... Hätte da jemand nen Ansatz? (Natürlich kann ich das ganze in nen Onlinerechner klatschen, dann habe ich es aber noch lange nicht verstanden....)

 

LG...

Lain

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@AniThroX:

Die h-Methode ist Dir kein Begriff. Schau das nochmals nach. Das ist wichtig.

Lain hat den Grenzwert schon genannt. Der ist ebenfalls gegen ∞ strebend.

 

@Lain:

Quotientenregel würde man hier verwenden. Ich rate allerdings davon ab. Das wird ein Ungetüm.

Da man aber die Randextrema kennt und weißt, dass die Funktion sonst stetig ist, muss dazwischen ein Minimum sein. Da es auch das einzige ist, ist es gleichzeitig global.

Vertraut man nicht darauf, könnte man auch den VZW nehmen um zu zeigen, dass das ein Minimum ist.

 

Damit euch beiden die Aufgabe vollens klar? Mehr war ja nicht zu tun :).

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Dankeschön, die Schlussfolgerung ist so einfach, da hätte ich selbst draufkommen können.

Wenn es ein Maxima wäre, müssten wir ja noch zwei Minima haben, haben wir aber nicht, da die erste Ableitung nur eine Extremwertstelle im Definitionsbereich hat, ist das ein Minimum.

Ich habe nun geschlagene 2 Stunden mit der Ableitung gekämpft, den offensichtlichen Wald vor Bäumen aber nicht gesehen. Wenigstens habe ich so ableiten geübt ;).

 

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Die Argumentation ist richtig verstanden. Genau.


Haha, ableiten üben tut gut! Braucht man immer! :)


Gerne