Integration mit mehrere Variablen

Question

Hallo euch!

Ich habe die folgende Aufgabe:

Es geht um das Integrieren in mehrere Dimensionen.

\( \int \limits_{0}^{1} \frac{\partial \phi}{\partial x}(\xi, 0) \mathrm{d} \xi+\int \limits_{0}^{\pi} \frac{\partial \phi}{\partial y}(1, \eta) \mathrm{d} \eta \)

Problem/Ansatz:

Ich habe ein Problem mit diese Aufgabe da ich nicht weiss wie diese Integration in diesem Fall zu loesen ist. Ich verstehe den Teil der Partielle Ableitung beispielsweise nach x im erste Integral, und ich bekomme cos(y)(ξ,0) und ich verstehe nicht was ich weiter hier machen soll.

Ergänzung: \(\phi(x,y)=x\,\cos y\)

Ich bedanke euch im Voraus fuer die Hilfe!

Comments

Gibt es dazu auch eine Funktionsgleichung \(\phi(x,y)=\cdots\)?

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Ja entschuldigung ich habe das vergessen,

die Funktionsgleichung ist φ(x, y) = x cosy

Answer 1

Aloha :)$$\phi(x,y)=x\,\cos y\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial\phi}{\partial x}=\cos y\quad;\quad\frac{\partial\phi}{\partial y}=-x\,\sin y$$Da in der partiellen Ableitung nach \(x\) das \(x\) gar nicht mehr vorkommt, kannst du unter dem Integral auch nicht \(x=\xi\) einsetzen. Du integrierst daher über eine Konstante.$$I=\int\limits_0^1\frac{\partial\phi}{\partial x}(\xi,0)d\xi+\int\limits_0^\pi\frac{\partial\phi}{\partial y}(1,\eta)d\eta=\int\limits_0^1\cos(0)\,d\xi+\int\limits_0^\pi-(1\cdot\sin\eta) d\eta$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1d\xi-\int\limits_0^\pi\sin\eta\, d\eta=\left[\xi\right]_{0}^1+\left[\cos\eta\right]_0^\pi=(1-0)+(-1-1)=1-2=-1$$

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

$$ \Phi_x(x,y) = \cos(y) $$ und $$ \Phi_y(x,y) = -x \sin(y) $$ also

$$ \int_0^1 \Phi_x(\xi,0) d\xi +  \int_0^\pi \Phi_y(1,\eta) d\eta = 1 - 2 = -1 $$