Lokale Extrema bei mehrere Variablen

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Aufgabe wo ich die lokale Extrema der Funktion untersuchen muss.

der Funktion lautet g(x,y,z) -> x² +y²+z²-2xyz

ich habe den kritischen Punkt gefunden und diese Funktion hat einen kritischen Punkt in (0,0,0)

Ich habe dann die Hesse Matrix in diese Punkt gefunden und

H(0,0,0)=\( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)

ich weiss nicht was ich jetzt weitermachen soll. Wir haben bis jetzt in die Vorlesung nur Übungen in 2 Dimensionen gehabt, indem wir die Determinante und Spur der Hesse Matrix gefunden haben, deshalb bin ich jetzt verwirrt. Ich habe versucht den Eigenwerte zu finden und im Taschenrechner erscheint "λ=2 mit ein Multiplizität von 3" ( seit wir die Eigenwerte noch nicht gemacht haben weiss ich auch nicht was diese Multiplizität ist).

Falls mir jemand, eine Einfache und klare Erklrärung geben könnte und mir weiterhelfen kann, wäre ich sehr dankbar.

Danke trotzdem im Voraus,

Answer 1

Aloha :)

Du hast \(\lambda=2\) als dreifachen Eigenwert, also sind alle Eigenwerte positiv, sodass die Hesse-Matrix positiv definit ist und bei \((0|0|0)\) ein lokales Minimum vorliegt.

Das folgt auch aus dem Sylvester-Kriterium, denn:$$\operatorname{det}\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}=2>0$$$$\operatorname{det}\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}=4>0$$$$\operatorname{det}\begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}=8>0$$Daher liegt beim Punkt \((0|0|0)\) ein lokales Minimum vor.

Comments

Alles sehr klar. Herzlichen Dank!