Lokale Extrema von f : [0,∞) → R, f(x) := (√(x)) - x + 1/4x^(2) bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f : [0,∞) → R, f(x) := (√(x)) - x + 1/4x^(2)

(Dazu gehört die Angabe der Extremalstellen ebenso wie die Angabe der
Extremalwerte und der Typ des Extremums (lokales Minimum oder lokales Maximum),
mit Beweis.)

Hi,

tut mir leid, dass ich euch Sonntags mit einer Matheaufgabe störe aber ich komme nicht mehr weiter und brauche Hilfe.

Vielen Dank und Liebe Grüße

Comments

Heißt der hintere Summand der Funktionsgleichung $$\frac{1}{4x²}$$ oder  $$\frac{1}{4}x²$$?

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die 2.Variante ist die richtige tut mir leid für die verwirrliche Schreibweise.

(1/4)*x^(2)

Answer 1

f '(x) = \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) - 1 +\( \frac{x}{2} \)

Eine Nullstelle der Ableitung lässt sich raten. x_N=1

Um eine zweite Nullstelle zu finden, müssen wir umformen:

\( \frac{1}{x} \) = (2-x)²

Und weiter

x³-4x²+4x-1=0

Polynomdivision durch x - 1:

(x³-4x²+4x-1):(x-1)=x²-3x+1

x²-3x+1=0 hat die positive Lösung x=(3-√5)/2. Die negative Lösung führt zu einem komplexen Wert.

Der Rest sollte jetzt zu schaffen sein.

Comments

Der "Rest" beinhaltet dann auch noch ein globales Randminimum bei x=0.

Auch globale Extremstellen sind lokale Extremstellen.

(Es mag aber sein, dass das vom Aufgabensteller nicht erwartet wird. Dann wäre der Text aber sehr ungenau!)

Answer 2

Falls die Aufgabe so lautet:

y =√x- x +x^2/4

Comments

 tut mir leid für die verwirrliche Schreibweise.


(1/4)*x^(2)