Zeigen Sie: P ist gleichmäßig stetig, gdw. deg(P) <= 1

Question

Liebe Community,

ich habe wieder ein Problem mit einer Aufgabe.

Diese Lautet:

Sei \( P \) ein Polynom. Zeigen Sie: \(P\) ist gleichmäßig stetig \(\Leftrightarrow\) \(\deg(P)  \le 1 \)

Mein Problem liegt hierbei im Grad vom Polynom. Ich weiß nicht, wie man an diese Aufgabe herangehen soll.

Ich freue mich auf Anregungen und Ansätze und bedanke mich schon einmal im Voraus für eure Hilfe

Grüße Matlab4Life

Comments

Ich habe versucht zu Argumentieren, dass eventuell wenn der Grad des Polynoms \(P \le 1\) ist, kann ich daraus schließen das \(P\) stetig ist. Und aus der Stetigkeit kann ich dann auf die gleichmäßige stetigkeit von \(P\) schließen.?

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Stimmt das Ungleichheitszeichen?

Bei Polynomen kommt dann nur der Grad 1 (allenfalls noch 0) in Frage.

Da könntest du mit 1 oder 2 Fällen arbeiten.

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Ja das \(\le \) stimmt.
Das mit den Fällen probiere ich, vielen Dank für den Hinweis!

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würde ich dann folgenderweise vorgehen:

Auf stetigkeit schließen, und daruas gleichmäßige Stetigkeit folgern.

Falls ja. würde ich zum bestimmen der Stetigkeit eines Polynoms mit Grad 1 mit der

\(\varepsilon - \delta \)- Definition arbeiten. Und wie würde der schritt zur gleichmäßigen Stetigkeit aussehen

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Stetigkeit impliziert nicht gleichmäßige Stetigkeit. Die Umkehrung gilt.

Du könntest Lipschitzstetigkeit zeigen.

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Alles klar ich habe die "Folgerungskette" glaube ich verstanden.

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:)

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Oder könnte ich gleich mit der Definition der glm. stetigkeit:

\(\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0 : \forall x,x_0 \in \text{ Grundmenge }: |x -x_0|<\delta \rightarrow |f(x)- f(x_0) |< \varepsilon\)

auf irgendeinem Weg Argumentieren, das die Äquivalenz gilt.

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Welche Richtung fehlt denn konkret?

Ist die Gegenrichtung eventuell indirekt möglich? D.h. so die glm. Stetigkeit für Grad ≥ 2 widerlegen?

In deiner Definition ist links im Prinzip die Steigung mit dabei.

\(\forall \varepsilon >0 \exists \delta >0 : \forall x,x_0 \in \text{ Grundmenge }: |x -x_0|<\delta \rightarrow |f(x)- f(x_0) |< \varepsilon\)

Delta freistellen liefert links für  f(x) := ax + b (Falls a ≠ 0) .

Delta > 1 / |(f ' (xo))| = 1/ a

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Mir fehlen ideen für beide Richtungen. Aber dein Hinweis ist sehr anschaulich. Genauer habe ich mehr das Problem mit der Richtung

\(deg(P)≤1→P\) ist glm. stetig.

 
Mir fällt kein weg ein dies zu Zeigen.

Matlab4Life