Integral und Wege berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie

$$\int_{\mathfrak{K}_{j}} \vec{f} \mathrm{d} \vec{x}, j=1,2,3, \text { für } \vec{f}(x, y)=\left(\begin{array}{c} -y \\ x \end{array}\right)$$ und die Wege

$$\text { a) } \mathfrak{K}_{1}: \vec{x}(t)=\left(\begin{array}{c} \cos t \\ \sin t \end{array}\right), t \in[0,2 \pi]$$ $$\text { b) } \mathfrak{K}_{2}: \vec{x}(t)=\left(\begin{array}{c} \cos t \\ \sin t \end{array}\right), t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \quad \text { und }$$ $$\text { c) } \mathfrak{K}_{3}: \text { Die geradlinige Verbindung von }\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right) \text { nach }\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right)$$ d) Geben Sie auch jeweils den Anfangs- und den Endpunkt des Integrationswegs an. $$\text { Ist } \vec{f} \text { konservativ, d.h. gibt es } \operatorname{ein} F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \text { mit }\vec{f}=\nabla F ?$$ Begründen Sie Ihre Antwort.

Ich hoffe mir kann hier jemand helfen,  habe leider keine Ahnung was ich hier tun soll.

Answer 1

Aloha :)

$$I_a=\int\limits_0^{2\pi}\vec f\,\frac{d\vec x}{dt}\,dt=\int\limits_0^{2\pi}\vec f(x=\cos t, y=\sin t)\,\frac{d\vec x}{dt}\,dt=\int\limits_0^{2\pi}\binom{-\sin t}{\cos t}\binom{-\sin t}{\cos t}dt$$$$\phantom{I_a}=\int\limits_0^{2\pi}(\sin^2t+\cos^2t)dt=\int\limits_0^{2\pi}1\,dt=\left[t\right]_0^{2\pi}=2\pi$$$$I_b=\int\limits_0^{\pi/2}\vec f\,\frac{d\vec x}{dt}\,dt=\int\limits_0^{\pi/2}\vec f(x=\cos t, y=\sin t)\,\frac{d\vec x}{dt}\,dt$$$$\phantom{I_b}=\int\limits_0^{\pi/2}\binom{-\sin t}{\cos t}\binom{-\sin t}{\cos t}dt$$$$\phantom{I_a}=\int\limits_0^{\pi/2}(\sin^2t+\cos^2t)dt=\int\limits_0^{\pi/2}1\,dt=\left[t\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}$$Bei der (c) müssen wir zunächst den Weg \(\vec x(t)\) parametrisieren:$$\vec x(t)=\binom{1}{0}+t\,\left[\binom{0}{1}-\binom{1}{0}\right]=\binom{1}{0}+t\,\binom{-1}{1}=\binom{1-t}{t}\quad;\quad t\in[0;1]$$$$I_c=\int\limits_0^1\vec f\,\frac{d\vec x}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\vec f(x=1-t, y=t)\,\frac{d\vec x}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\binom{-t}{1-t}\binom{1-t}{t}dt$$$$\phantom{I_a}=\int\limits_0^1(-t+t^2+t-t^2)dt=\int\limits_0^10\,dt=0$$

d) Die Start- und Enpunkte der Wege sind:

bei a) \(\binom{1}{0}\to\binom{1}{0}\quad;\quad\) bei b) \(\binom{1}{0}\to\binom{0}{1}\quad;\quad\) bei c) \(\binom{1}{0}\to\binom{0}{1}\)

Offensichtlich ist \(\vec f\) nicht konservativ. Bei (a) sind Start- und Endpunkt identisch. Bei einem konservativen Feld müsste daher das Wegintegral \(=0\) sein. Bei (b) und (c) geht man auf unterschiedlichen Wegen vom selben Startpunkt zum selben Zielpunkt und der Wert des Wegintegrals ist unterschiedlich. Bei einem konservativen Feld ist das Wegintegral unabhängig vom Weg.

Answer 2

Hallo,

a)$$\int_{\mathfrak{K}_{1}} \vec{f} \mathrm{d} \vec{x}=\int_{0}^{2\pi} \left \langle \vec{f}(\vec{x}(t)), \dot{\vec{x}}(t) \right \rangle \text{d}\vec{x}=\int_{0}^{2\pi}\begin{pmatrix} -\sin(t)\\\cos(t) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -\sin(t)\\\cos(t) \end{pmatrix}\text{d}\vec{x}=\int_{0}^{2\pi}\underbrace{\sin^2(t)+\cos^2(t)}_{=1}\text{d}\vec{x}=2\pi$$

b) analog

c) Hier gehst du entlang \(\mathfrak{K}_{3}: \vec{x}(t)=\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-t\\t \end{pmatrix} \, \text{mit } t\in [0,1]\), dann analog.

d) Hier setzt du einfach die Grenzen der Intervalle in \(\vec{x}(t)\) ein.

\(\text { Ist } \vec{f} \text { konservativ, d.h. gibt es } \operatorname{ein} F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \text { mit }\vec{f}=\nabla F \)?

\(\vec{f}\) ist nicht konservativ, das sieht man insbesondere daran, dass die Jacobi-Matrix nicht symmetrisch ist.$$J_f(x,y)=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix} 0 &1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}=J_f^T(x,y)$$