Habe ich die Gleichungen z^4 = -4 und z^3 = 5i richtig gelöst?

Question

Berechnen sie alle komplexen Zahlen z, sodass z^4 = -4 und z^3 = 5i.

Sind die Lösungen richtig:

z^4 = -4 => keine Lösung

z^3 = 5i => z = \( \sqrt[3]{25} \)\( e^{(\ \frac{i*arctan(0)}{3} \ )} \)

Answer 1

Hallo,

Sind die Lösungen richtig: leider nein

allgemein: z_k=|z_1|^(1/n)  e^((i(φ+2kπ))/n) ,hier k=0,1,2,3 ->1.Aufgabe

1.Aufgabe:

|z₁| =4

tan φ =0/(-4) =0 ----->φ =π

n=4

----->

z₀= √2 e^((i π)/4)

z₀=4^(1/4) (cos(π/4) +i sin(π/4))

z₀=√2(√2/2 +i √2/2)

z₀=1+i

z₁=1-i

z₂=-1-i

z₃=-1+i

analog die 2. Aufgabe

Comments

danke für die ausführliche Antwort. Ich habe eine falsche Formel benutzt, merke ich gerade. Ich schau mir das nochmal in Ruhe an. Könntest du die Lösung (ohne Lösungsweg)  zur zweiten Aufgabe posten, damit ich nachher deine Lösung mit meiner vergleichen kann?

---

Lösungen 2. Aufgabe:

z₀ ≈ -1.71 i

z₁ ≈ 1.481 +0.855i

z₂ ≈ 1.481 +0.855i

Answer 2

Hallo

nein, leider sehr falsch

 offensichtlich ist z eine komplexe Zahl also gibt es 4 Wurzeln  zu jeder komplexen Zahl ,

mit -4=4*e^i*π+i*k*2π  und vierte Wurzel = hoch 1/4 solltest du alle 4 finden (k=0,1,2,3)

entsprechend 5i=e^iπ/2+ik*2π hoch 1/3

  am Ende Wieder z=r*(cos(φ)+isin((φ)) umrechnen.

auch z^3 hat 3 Wurzeln, der Betrag ist aber die entsprechende Wurzel aus 5, nicht 25!

 wie kommst su auf arctan(0) den Winkel von 5i bzw. i sieht man doch er ist sicher nicht 0 Winkel 0 nur für positive reelle z

Gruß lul

Comments

Hallo, ich möchte mich auch bei dir bedanken. Ich weiß jetzt, dass ich mir das Thema nochmal in Ruhe anschauen sollte! Dankeschön! Ich kam auf den falschen Winkel, weil ich eine falsche Formel benutzt habe bzw. die Formel falsch angewandt habe:

|z|e^(iarccos(x/|z|) habe ich verwendet und anstelle des arccos habe ich arctan genommen und sehe jetzt, dass ich einiges falsch gerechnet habe!

---

Hallo

 für Winkel zeichnet man z besser in die Gaussche ebene ein, dann sieht man sie besser.

lul