Für welche a in R, ist f_i,a surjektiv auf R

Question

Surjektiv?.

Für folgende Funktionen \(f_{i,a}\) soll die Menge aller \(a \in \mathbb{R}\) angegeben werden, für die \(f_{i,a}\) surjektiv auf \(\mathbb{R}\) ist.

1.\(a \cdot P+ ln\) für ein Polynom \(P\) mit positivem Leitkoeffizienten (Hinweis: Hier darf man annehmen, dass \(ln: (0;\infty) \rightarrow \mathbb{R}\),

2. \(\frac{(a \cdot x^5 - 3 \sqrt(|x|))}{( 6x^4+5 )}\)

Mein Ansatz zur 1.:

Eine Idee wäre es mit dem Zwischenwertsatz zu versuchen und a damit zu spezialisieren. Wie das aber funktionieren soll weiß ich leider nicht

Mein Ansatz zur 2.:

Bei dieser Teilaufgabe kam mir in den Sinn, dass ich das \(a\) "spzezialisieren" kann und eine Fallunterscheidung machen kann.

Und dann mit den verschiedenen limetes eine Aussage darüber treffe wo es stetig ist und so auf surjektivität schließe

Das waren die einzigen Ideen, welche mir in den Sinn gekommen sind. Zudem habe ich nicht verstanden wie man hier die Surjektivität zeigen soll.

Ich freue mich auf weitere Anregungen, Erklärungen und bedanke mich für eure Bemühungen

Grüße Die 2. Ableitung

Answer 1

Bei 2 könnte ich mir das so vorstellen:

f ist jedenfalls für alle x∈ℝ definiert (Nenner nie 0, Radikand in

der Wurzel nie negativ) und überall stetig.

Für a=0 geht f für x gegen ± ∞  gegen 0 , ist also beschränkt und somit

nicht surjektiv.

Für a≠0 und kürzen mit x^4 hat man

\(\frac{(a \cdot x - \frac{ 3 \sqrt(|x|))}{x^4}}{( 6+\frac{5}{x^4} )}\)

geht also  für x gegen ± ∞  gegen  ± ∞ , wegen des Zwischenwertsatzes

werden also alle y ∈ℝ als Funktionswerte vorkommen.

==>  f ist surjektiv.

Bei 1 vielleicht so:  Für a≥0 geht f

für x gegen 0 gegen - ∞ und für x gegen ∞ gegen + ∞.

Ist wieder alles stetig auf (0;∞), also surjektiv.

Für negatives a ergibt sich allerdings bei beiden Grenzwerten -∞,

also hat f irgendwo ein globales Maximum, ist also nicht surjektiv.