Question

f: [a,b] -> [a,b) stetig. Zeige: f nicht surjektiv.

Wer kann mir helfen diesen Widerspruchsbeweis aufzuschreiben. Ich hab keinen Ansatz und weiss nicht wirklich wie ich vorgehen sollte. .

Answer 1

warum nicht direkt?

Hinweis: Die Funktion nimmt ein Maximum auf dem Def. Bereich an (warum musst du natürlich selber begründen).

Gruß

Comments

hi, ich verstehe nicht wirklich was du meinst....kannst du das vielleicht nochmal genauer erklären? !

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Das heißt es gibt ein \(x_0 \in [a,b] \), so dass \( \forall x \in [a,b] \):

$$ f(x) \leq f(x_0)$$

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Und warum folgt daraus, dasd f surjektiv ist, wenn f stetig?

Ich verstehe deinen Denkweg nichg so recht....:)

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Tut es nicht, \(f\) ist nicht surjektiv (was zu zeigen ist).

Es sollte klar sein, dass für dieses Maximum gilt: \(f(x_0) < b \).

Was bedeutet dies dann für das Intervall \((f(x_0),b) \) aus dem Bildbereich der Funktion? Damit hat man schon das Argument warum \(f\) nicht surjektiv sein kann. 

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Ah sorry ich meinte ja nicht surjektiv.

Also ich hab jetzt verstanden, dass x0 das maximum von f ist und somit f (x0) der größte funktionswert von f auf dem intervall ist.

Aber warum ist f (x0)<b ....weil [a, b) der bildbereichnist?!

Und da nun ist f surjektiv, weil z.b x=b aus [a, b] keinen wertim bildbereich hat?.....

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Also ich hab jetzt verstanden, dass x0 das maximum von f ist und somit f (x0) der größte funktionswert von f auf dem intervall ist.

Nein es existiert ein \(x_0\), so dass \(c:=f(x_0) \in [a,b) \) das Maximum ist. Warum dieses Maximum existiert musst du noch begründen (Satz in der Vorlesung schon gehabt?)

Aber warum ist f (x0)<b ....weil [a, b) der bildbereichnist?!

Ja

Und da nun ist f surjektiv, weil z.b x=b aus [a, b] keinen wertim bildbereich hat?.....

Nein, weil die Werte im Intervall \( (c,b) \) nicht angenommen werden, das Urbild also leer ist......und wieder: NICHT surjektiv ;)

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Ich danke dir, aber ich versteh nicht warum f nicht surjektiv ist, kannst du das vielleicht nochmal in einem Satz sagen ;)

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Was bedeutet denn surjektiv?