Wahrscheinlichkeit das alte Lotto 7 aus 38 zu gewinnen?

Question

Aufgabe:

In den 80er Jahren gab es - analog zum heutigen Lotto "6 aus 49" - beim Mittwochslotto die Ziehung "7 aus 38", bei dem man 7 Gewinnzahlen anzukreuzen hatte. Gewonnen wurde, wenn man mindestens 4 richtige hatte. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass man gewinnt, ohne die Zusatzzahl zu berücksichtigen!

Problem/Ansatz:

Hab keine Ahnung wie ich hier vorgehen könnte, würde mich sehr über eine Erklärung freuen.

Answer 1

Die Anzahl \(X\) der Treffer ist hypergeometrisch verteilt, das heißt

        \(P(X = k) = h(k|N;M;n):= \frac{{M \choose k}{N-M \choose n-k}}{{N \choose n}}\)

mit \(N=38\) (Anzahl der Kugeln), \(M=7\) (Anzahl der getippten Zahlen) und \(n = 7\) (Anzahl der gezogenen Zahlen).

Berechne \(\sum_{k=4}^7P(X=k)\)

Comments

uff bin jz in der neunten Klasse ist es schlimm wenn ich gar nichts davon verstehe?

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\(\sum_{k=4}^7 P(X=4)\) ist eine Kurzschreibweise für

        \(P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7)\).

Weil ich ja gesagt habe, dass \(X\) für die Anzahl der Treffer stehen soll, kann man zum Beispiel

        \(P(X=6)\)

lesen als

        Die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Treffer gleich 6 ist.

Lotto ist ziehen ohne Zurücklegen. In eine Urne befinden sich 38 Kugeln. Davon sind 7 grün (das sind die, auf denen die Zahlen stehen, die ich getippt habe) und 31 rot. Es werden ohne Zurücklegen 7 Kugeln gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 7 gezogenen Kugeln mindestens 4 grüne sind.

In dem Term

        \(\frac{{M \choose k}{N-M \choose n-k}}{{N \choose n}}\)

stehen Binomialkoeffizienten. Die können mit dem Taschenrechner berechnet werden (oder mit dem Pascalschen Dreieck, was aber angesichts von \(N=38\) recht aufwendig ist).

Der Teil \(h(k|N;M;n)\) ist die übliche Notation, um auf die hypergeometrische Verteilung hinzuweisen. Den hätte ich eigentlich auch weglassen können.

Answer 2

Aloha :)

4 richtige Zahlen hast du, wenn von den 7 richtigen Zahlen genau 4 Zahlen kommen. Dafür gibt es \(\binom{7}{4}\) Möglichkeiten. Von den 31 falschen Zahlen müssen dann 3 kommen, dafür gibt es \(\binom{31}{3}\) Möglichkeiten. Das sind insgesamt \(\binom{7}{4}\cdot\binom{31}{3}\) Möglichkeiten, genau 4 richtige zu haben. Insgesamt gibt es \(\binom{38}{7}\) Möglichkeiten, um aus 38 Zahlen genau 7 auszuwählen. Die Wahrscheinlichkeit für genau 4 richtige Zahlen ist daher:

$$p(\text{4 richtige})=\frac{\text{Anzahl günstiger Fälle}}{\text{Anzahl möglicher Fälle}}=\frac{\binom{7}{4}\binom{31}{3}}{\binom{38}{7}}=\frac{35\cdot4495}{12\,620\,256}$$Ganz analog dazu kannst du die Wahrscheinlichkeit für genau 5, 6 und 7 richtige Zahlen bestimmen:

$$p(\text{5 richtige})=\frac{\binom{7}{5}\binom{31}{2}}{\binom{38}{7}}=\frac{21\cdot465}{12\,620\,256}$$$$p(\text{6 richtige})=\frac{\binom{7}{6}\binom{31}{1}}{\binom{38}{7}}=\frac{7\cdot31}{12\,620\,256}$$$$p(\text{7 richtige})=\frac{\binom{7}{7}\binom{31}{0}}{\binom{38}{7}}=\frac{1\cdot1}{12\,620\,256}$$

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 4 richtige Zahlen ist daher:

$$p(\ge\text{ 4 richtige})=\frac{35\cdot4495+21\cdot465+7\cdot31+1\cdot1}{12\,620\,256}\approx1,3257100\%$$