Wahrscheinlichkeit Lotto: 4 aus 6 richtigen

Question

Wissen vorweg:

Ein Spieler hat genau k Richtige, wenn von den 6 gezogenen Kugeln des Ergebnisses wgenau k Nummern mit den von ihm vorher auf dem Tippschein angekreuzten 6 Zahlenübereinstimmen. Das „genau k Richtige“ bedeutet dann auch, dass die übrigen 6 -k gezogenen Nummern des Ergebnisses wzu den 43 nichtgetippten Zahlengehören.Für k Î{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} bezeichne Ak das Ereignis:„Es werden genauk Zahlen der 6 angekreuzten Zahlen richtig gezogen.“ 
Beschreibung mit Hilfe der Zufallsvariable X: „Anzahl der getippten Richtigen“ Die Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis w die Anzahl k der darin enthaltenen Richtigen zu, die mit den vom Spieler angekreuzten Nummern übereinstimmen. Das Ereignis Ak kann dann auch mittels der Zufallsvariable X in der Form X = kangegeben werden. Gesuchte Laplace-Wahrscheinlichkeiten für genau k Richtige P(Ak) = P(X = k) Die Laplace-Wahrscheinlichkeit von A4: „Es werden genau 4 Zahlen der 6 angekreuzten Zahlen richtig gezogen.“errechnet sichdann wie folgt: (6 über 4)*(43 über 2) / (49 über 6), denn bei genau 4 Richtigen zählt man (6 über 4) Möglichkeiten für die Auswahl der „4 Richtigen“aus den 6 getippten Zahlen multipliziert mit (43 über 2) Möglichkeiten für die Auswahl der „2 Falschen“aus den 43 nicht-getippten Zahlen, also: (6 über 4)*(43 über 2)

Aufgabe 1:

a) Gib den Berechnungsterm für die Laplace-Wahrscheinlichkeit P(Ak) = P(X = k) mit k = 0, 1, ..., 6 für „genau k Richtige“ an.

b) Berechne diese Wahrscheinlichkeiten und trage sie in der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Richtigen Xtabellarisch zusammen.

Answer 1

a) b)

$$P(X=0)=\frac{\begin{pmatrix} 6\\0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 43\\6 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 49\\6 \end{pmatrix}} = \frac{435461}{998844} \\ P(X=1)=\frac{\begin{pmatrix} 6\\1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 43\\5 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 49\\6 \end{pmatrix}} = \frac{68757}{166474} \\ P(X=2)=\frac{\begin{pmatrix} 6\\2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 43\\4 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 49\\6 \end{pmatrix}} = \frac{44075}{332948} \\ P(X=3)=\frac{\begin{pmatrix} 6\\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 43\\3 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 49\\6 \end{pmatrix}} = \frac{8815}{499422} \\ P(X=4)=\frac{\begin{pmatrix} 6\\4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 43\\2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 49\\6 \end{pmatrix}} = \frac{645}{665896} \\ P(X=5)=\frac{\begin{pmatrix} 6\\5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 43\\1 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 49\\6 \end{pmatrix}} = \frac{43}{2330636} \\ P(X=6)=\frac{\begin{pmatrix} 6\\6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 43\\0 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 49\\6 \end{pmatrix}} = \frac{1}{13983816} $$

Answer 2

Die Formel findest du hier:

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/hypergeometrische-verteilung.html

https://de.wikipedia.org/wiki/Lotto#Gewinnwahrscheinlichkeit_f%C3%BCr_Lotto