Stochastik: Zufallsgrösse X steht für die Zahl der richtigen beim Lotto. Histogramm? Erwartungswert?

Question

Aufgabe Lotto "6 aus 49":

Bei der wöchentlichen Lottoziehung "6 aus 49" interessiert man sich für die Verteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der richtig getippten Zahlen.

In der Tabelle sind Formeln zur Berechnung der Verteilung von \( X \) abgedruckt.

k	0	1	2	…	5	6
X = k	\( \frac{\left(\begin{array}{l}6 \\ 0 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}43 \\ 6 \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}49 \\ 6\end{array}\right)} \)	\( \frac{\left(\begin{array}{l}6 \\ 1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}43 \\ 5 \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}49 \\ 6\end{array}\right)} \)	\( \frac{\left(\begin{array}{l}6 \\ 2 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}43 \\ 4 \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}49 \\ 6\end{array}\right)} \)	…	\( \frac{\left(\begin{array}{l}6 \\ 5 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}43 \\ 1 \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}49 \\ 6\end{array}\right)} \)	\( \frac{\left(\begin{array}{l}6 \\ 6 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}43 \\ 0 \end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}49 \\ 6\end{array}\right)} \)

Erläutern Sie die Rechenansätze.

Stellen Sie die Verteilung der Zufallsgröße X als Histogramm dar.

Schätzen Sie den Erwartungswert und berechnen sie ihn anschließend. Was sagt dieser Wert aus?

Answer 1

In der Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Werte von k.

Im Nenner ist immer das gleiche 49 über 6. So viele verschiedene 6er Teilmengen gibt es bei einer 49 elementigen Menge. Das ist also die Gesamtzahl aller möglichen Ziehungen.

Wenn du jetzt z.B. die Wahrscheinlichkeit für 3 richtige haben willst, kannst du dir vorstellen es werden 3 von den 6 richtigen Zahlen gezogen, dafür gibt es 6 über 3 Möglichkeiten und die anderen drei müssen ja dann "falsche" sein, dafür gibt es
43 über 3 (denn es gibt ja nur 43 falsche).

Und für 4 richtige so ähnlich:

6 über 4  und dann noch 2 falsche 43 über 2 etc.

Und der Nenner (Gesamtzahl aller möglichen Ziehungen) ist natürlich immer gleich.

Answer 2

Erwartungswert

Allgemein Berechnet man den Erwartungswert, wenn man über alle Ausprägungen multipliziert mit ihrer Wahrscheinlichkeit aufaddiert.

∑ (i = 1 bis n) xi * P(xi)

In unserem Fall sind die Ausprägungen 0 bis 6 Richtige.

∑ (k = 0 bis 6) k * (6 über k) * (43 über 6 - k) / (49 über 6) = 0.7347

Im Mittel hat man also ca. 0.7 Richtige.

Histogramm

Solltest du denke ich alleine hinbekommen. Du berechnest nur die Wahrscheinlichkeiten für 0 bis 6 richtige und trägst diese 7 Werte in ein Diagramm ein.

Ich füge noch die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Tabelle an. Diese kannst du zum Vergleichen benutzen:

[0, 43.60%;
1, 41.30%;
2, 13.24%;
3, 01.77%;
4, 0.10%;
5, < 0.01%;
6, < 0.01%;