Berechnen Sie einen Punkt D und den Flächeninhalt der Raute

Question

1. Berechnen Sie einen Punkt D, so dass aus dem Dreieck A ( 7 | 0 | − 1 ), B ( 5 | − 3 | − 1 ), C ( 4 | 0 | 1 ) eine Raute wird.

2. Berechnen sie den Flächeninhalt der Raute.

Ich habe schon den fehlenden Punkt berechnet (D (6 | 3 | 1) falls das richtig ist). Nun weiß ich aber nicht wie ich den Flächeninhalt berechnen soll.

Answer 1

Der Flächeninhalt einer Raute ist die Hälfte des Produkts der Diagonalen.

Allerdings handelt es sich bei dem Viereck ABCD mit D(6 | 3 | 1) nicht um eine Raute, sondern um ein Parallelogram.

In einer Raute sind alle Seiten gleich lang. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Mit deinem D ist |AB| = √13, aber |AD| = √14.

Bestimme in dem Dreieck ABC die Seitenlängen. Die zwei gleich langen Seiten in dem Dreieck müssen auch Seiten der Raute sein.

Comments

Moin Oswald,

ich hätte OD=OA+CB=(8,-3,-3) als D berechnet.

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Aber du hast recht, das ist keine Raute.

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Mathefrager hat OD = OA + BC = (6,3,1) als D berechnet.

Es gibt drei Möglichkeiten, ein Dreieck zu einem Parallelogramm zu ergänzen.

Bei dem gegebenen Dreieck ergibt genau eine dieser vier Möglichkeiten eine Raute.

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"Es gibt vier Möglichkeiten, ein Dreieck zu einem Parallelogramm zu ergänzen."

Nach meiner Ansicht nur drei.

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Ich weiß gerade nicht genau wie das heißt, aber gibt es nicht auch sowas wie eine "geometrische Laufrichtung" (bestimmt nicht der Fachbegriff), also die Art und Weise, wie ABCD zueinander liegen.

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Ja. In der Regel bezeichnet man die Eckpunkte A,B,C, .... eines Vielecks in der Ebene schön nach der Reihe, wobei man das Vieleck im positiven Drehsinn umläuft, also im Gegenuhrzeigersinn. In der vorliegenden Aufgabe muss man aber auf diese "Standardbezeichnungsweise" verzichten, damit das entstehende Viereck wirklich eine Raute werden kann.

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Wenn du sagst, dass es ein Parallelogramm ist, dann muss der Punkt D den ich ausgerechnet habe falsch sein falsch sein. Denn in der Aufgabenstellung steht, dass es eine Raute ist. Oder ist mein Punkt D doch richtig?

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Dein Punkt D würde zu einem Parallelogramm ABCD führen.

Der Punkt D von racine_carrée würde zu einem Parallelogramm ACBD führen.

Beides sind keine Rauten. Die dritte Möglichkeit fürhrt zu einer Raute.

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Wenn du sagst, dass es ein Parallelogramm ist, dann muss der Punkt D den ich ausgerechnet habe falsch sein falsch sein. Denn in der Aufgabenstellung steht, dass es eine Raute ist. Oder ist mein Punkt D doch richtig?

Der Punkt D(6|3|1) führt zu einem Viereck ABCD (in dieser Reihenfolge umlaufen), welches zwar ein Parallelogramm, aber keine Raute ist.

(Jede Raute ist natürlich auch ein Parallelogramm !)

Um wirklich eine Raute zu erhalten, muss man das Viereck ABDC (mit dieser Reihenfolge der Ecken) bilden. Das klappt mit dem Punkt  D(2|-3|1). Vektoriell muss BD = AC sein, was für die Ortsvektoren bedeutet:  D = B+C-A .

Answer 2

Hallo,

der Flächeninhalt ist gegeben durch $$A=||\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}||=\left | \left | \begin{pmatrix} -6\\4\\-9 \end{pmatrix} \right | \right|=\sqrt{6^2+4^2+9^2}=\sqrt{133}$$