Bestimmen Sie den Gradienten \nabla f(x, y) von f an der Stelle (x, y)=(0,0)

Question

wie kann ich partiellen Ableitung von f bestimmen und sagen ob es diff bar ist?

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad(x, y) \mapsto x y+2 x \sin (y+\pi / 2)+e^{-y} \cos (x) \)

Bestimmen Sie den Gradienten \( \nabla f(x, y) \) von \( f \) an der Stelle \( (x, y)=(0,0) \)

Danke

Comments

Wo liegt das Problem?

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Du musst doch nur nach x und nach y ableiten, was daran kannst du nicht? eigentlich ist das da ja wie eine Konstante behandelt wird wenn man nach x ableitet, eine Aufgabe für die Schule.

Gruß lul

Answer 1

Aloha :)

$$f(x,y)=xy+2x\sin\left(y+\frac{\pi}{2}\right)+e^{-y}\cos x$$$$\operatorname{grad}f(x,y)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x}\\\frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y+2\sin\left(y+\frac{\pi}{2}\right)-e^{-y}\sin x\\x+2x\cos\left(y+\frac{\pi}{2}\right)-e^{-y}\cos x\end{pmatrix}$$$$\operatorname{grad}f(0,0)=\begin{pmatrix}2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\\-e^{0}\cos 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$$Die Funktion ist differenzierbar, die Jacobi-Matrix ist hier einfach der Gradient als Zeilenvektor.