Analytische Geometrie Flächeninhalt

Question

Hallo. Wie löst man diese Aufgabe?

(b) Gegeben sind die Punkte \( A \) und \( B \) durch die Ortsvektoren
$$ a=\left(\begin{array}{r} -1 \\ -4 \\ 3 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad b=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ 6 \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie diejenigen Punkte \( C \) auf der \( x_{3} \) -Achse, für die das Dreieck \( A B C \) einen Flächeninhalt von 12 Flächeneinheiten besitzt.

Answer 1

Bestimmen Sie diejenigen Punkte auf der ₃ -Achse,

Setze \(C = (0 | 0 | z)\).

Löse die Gleichung \(\frac{1}{2}\left|\vec{CA}\times\vec{CB}\right| = 12\).

Der Betrag von \(\vec{CA}\times\vec{CB}\) ist der Flächeninhalt des durch die Vektoren \(\vec{CA}\) und \(\vec{CB}\) aufgespannten Parallelograms. Das gesuchte Dreieck ist halb so groß.

Comments

Ich komme leider bei der Rechnung ständig auf falsche Ergebnisse. es wäre sehen hilfreicz wenn Sie den Rechenweg zeigen könnten

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\(\begin{aligned} &  & \vec{CA} & =\begin{pmatrix}-1\\ -4\\ 3-z \end{pmatrix}\\ &  & \vec{CB} & =\begin{pmatrix}4\\ 0\\ 6-z \end{pmatrix}\\ &  & \vec{CA}\times\vec{CB} & =\begin{pmatrix}4z-24\\ 18-5z\\ 16 \end{pmatrix}\\ &  & \left|\vec{CA}\times\vec{CB}\right| & =\sqrt{\left(4z-24\right)^{2}+\left(18-5z\right)^{2}+16^{2}}\\ &  &  & =\sqrt{41z^{2}-372z+1156}\\ \\ &  & \frac{1}{2}\left|\vec{CA}\times\vec{CB}\right| & =12\\ & \iff & \frac{1}{2}\sqrt{41z^{2}-372z+1156} & =12\\ & \iff & \sqrt{41z^{2}-372z+1156} & =24\\ & \implies & 41z^{2}-372z+1156 & =576\\ & \iff & z=2 & \vee z=\frac{290}{41} \end{aligned}\)

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Und was heisst für mich jetzt das Endergebnis z= 2 oder z= 290/41 ?

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Das sind die möglichen x₃-Koordinaten von C.