Um wie viele Elemente ist P (M∪ {a} ) größer als P(M)

Question

Es sei \( M \) eine Menge mit 6 Elementen, \( a \notin M . \) Um wie viele Elemente ist \( \mathcal{P}(M \cup\{a\}) \) größer als \( \mathcal{P}(M) \)

Answer 1

Aloha :)

Die Anzahl der Elemente in der Potenzmenge \(P(M)\) einer Menge \(M\) ist \(\text{\#}P(M)=2^{\text{\#}M}\).

Wenn du also ein Element zu der Menge \(M\) hinzufügst, verdoppelt sich die Anzahl der Elemente aus der Potenzmenge:

$$ \text{\#} P(M\cup\{a\})=2^{\text{\#}(M\cup\{a\})}=2^{\text{\#}M+1}=2\cdot2^{\text{\#}M}=2\cdot \text{\#}P(M)$$

Aus \(2^6\) werden also \(2^7\) Elemente, also sind \(2^6=64\) Elemente dazu gekommen.

Answer 2

Es kommt 1 Element hinzu → 2^7- 2^6= 64