Funktionentheorie, z^a enthält unendlich viele Elemente

Question

Aufgabe:

Sei a ∈ ℂ \ ℚ und z ∈ ℂ. Wir wollen zeigen, dass z^a unendlich viele verschiedene Elemente enthält.

a) Zeigen Sie, dass die Menge z^a genau durch die Elemente \( z_{k}^{a}:=e^{a \log z} e^{2 \pi \mathrm{i} k \operatorname{Re} a} e^{-2 \pi k \operatorname{Im} a} \) , k ∈ ℤ, gegeben ist.

Problem/Ansatz:

Mein Problem liegt darin, dass ich nicht richtig weiß wie ich vorgehen muss. Ich habe versucht den hinteren Teil der Gleichung umzustellen und daraus irgendetwas zu machen, aber an sich bin ich total planlos, wie man überhaupt vorgeht.

Die Aufgabe ist eine Übungsaufgabe und ich brauche dringend eure Hilfe :(

Comments

Dazu müsste man wissen, wie Ihr \(z^a\) definiert habt, ebenso, was bei Euch \(\log(z)\) bedeutet.

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Hallo Mathhilf, z^a haben wir wie folgt definiert: z^a := e^{a ln(z)} .

Und log(z) ist bei uns ln(z) = ln|z| + i arg z.

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und wie ist ln(z) für komplexe z definiert?

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ln(z) = ln|z| + i arg z,  z ∈ ℂ.

So sollte doch z bereits komplex oder

Jedes w ∈ ℂ mit e^w = z heißt komplexer Logarithmus von z. Die Menge aller komplexen Logarithmen von z wird mit ln(z) bezeichnet.

Answer 1

Jetzt wäre die nächste Frage, wie arg definiert ist. Nach der Aufgabenstellung vermute ich, dass es sich um alle möglichen Winkel handeln soll, also

$$arg(z)= \phi +2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}  \text{  wenn }z=r \exp(i \phi)$$

Dabei wäre für \(\phi\) dann der "Hauptwert" zu nehmen, oft in \((-\pi,\pi]\). Jedenfalls liefert dann

$$a \cdot 2k\pi i= \Re{a} \cdot 2k\pi i-\Im{a} \cdot 2k\pi$$

die weiteren Beiträge in der Lösung.

Gruß Mathhilf

Comments

Vielen Dank erst mal ☺️

Wie würde ich denn dann zeigen, dass bei Im(a) ≠ 0 alle z^a voneinander verschiedene absolutbeträge besitzen und deswegen ja selbst voneinander verschieden sind?

Und wie könnte man daraus folgern, dass z^a deshalb unendlich viele Werte besitzt?

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Der Faktor \(\exp(-2 \pi k \cdot Im(a))\) ist ja ein reeller Faktor und trägt zum Betrag der komplexen Zahl \(z_k^a\) bei. Es sind unendlich viele, weil k alle ganzen Zahlen durchläuft. Weil die reelle exp-Funktion injektiv ist, sind es jeweils verschiedene Faktoren.

Gruß Mathhilf