Welche dieser Teilmengen stellen Abbildungen dar?

Question

Hallo, könnt ihr mir jedes Punkt mal erklären? wäre super nett

Entscheiden Sie, welche der folgenden Teilmengen Abbildungen darstellen:
\( 1 . \Delta_{\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)
2. \( \{1\} \times \mathbb{N} \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N} \)
\( 3 . \mathbb{N} \times\{-1\} \subseteq \mathbb{N} \times \mathbb{N} \)
\( 4 . \mathbb{N} \times\{-1\} \subseteq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \)
5. \( \{(\sin x, \cos x) | x \in \mathbb{R}\} \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)

Answer 1

Eine Abbildung ist eine linksvollständige, rechtseindeutige Teilmenge einer Menge von Paaren.

3.ℕ×{−1}⊆ℕ×ℕ

Die Menge von Paaren ist ℕ×ℕ.

Die Teilmenge ist angeblich ℕ×{−1}.

Tatsächlich ist aber ℕ×{−1} keine Teilmenge von ℕ×ℕ, weil -1 ∉ ℕ ist. Also handelt es sich nicht um eine Abbildung.

4.ℕ×{−1}⊆ℤ×ℤ

Die Menge von Paaren ist ℤ×ℤ.

Die Teilmenge ist ℕ×{−1}.

Die Teilmenge ist rechtseindeutig, weil für jedes z ∈ ℤ höchstens ein z' ∈ ℤ existiert, so dass das Paar (z, z') Element von ℕ×{−1} ist.

Die Teilmenge ist nicht linksvollständig, weil es ein z ∈ ℤ gibt, das als erster Eintrag der Paare aus ℕ×{−1} nicht vorkommt.

Es handelt sich also nicht um eine Abbildung.