Für jeden Primteiler p von 9^(n)+1 gilt p kongruent 1 mod 4. Warum?

Question

Aufgabe:

Für eine Probeklausuraufgabe wurde einfach gesagt, dass für 9^(n) + 1 gilt, dass jeder Primteiler p>2 kongruent 1 modulo 4 ist. Warum gilt das?

Problem/Ansatz:

Step 1: Es gilt p | 9^(n) +1.

Step 2: ??? <- Warum ist 9^n+1 mod 4 aus {0,2}??

Step 3: 9^n +1 mod 4 ist aus {0,2}. Daraus folgt ja schon dass p mod 4 gleich 1 sein muss, wenn es 0,2 mod 4 teilen soll.

Step 4: p ≡ 1 mod 4

Answer 1

Zu Step 2: 9^n ist immer ungerade. Damit ist 9^n+1 immer gerade und lässt bei Teilung durch 4 den Rest 0 oder 2.

Comments

Warum ist 9^n immer ungerade?