Aloha :)
Die Variable \(X_1+X_2\) nimmt den Wert \(k\) für folgende Tupel \((x_1,x_2)\) an:$$(0;k), (1;k-1), \ldots, (i;k-i), \ldots, (k,0)$$Da \(X_1\) und \(X_2\) jede für sich Poisson-verteilt sind, ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Paares:$$p(x_1=i;x_2=k-i)=\frac{\lambda_1^i}{i!}e^{-\lambda_1}\cdot\frac{\lambda_2^{k-i}}{(k-i)!}e^{-\lambda_2}$$
Über alle Paare summiert erhalten wir:$$p(x_1+x_2=k)=\sum\limits_{i=0}^k\frac{\lambda_1^i}{i!}e^{-\lambda_1}\cdot\frac{\lambda_2^{k-i}}{(k-i)!}e^{-\lambda_2}=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\sum\limits_{i=0}^k\frac{\lambda_1^i}{i!}\cdot\frac{\lambda_2^{k-i}}{(k-i)!}$$$$\quad=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\frac{k!}{k!}\sum\limits_{i=0}^k\frac{1}{i!\,(k-i)!}\cdot\lambda_1^i\,\lambda_2^{k-i}=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\frac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^k\frac{k!}{i!\,(k-i)!}\cdot\lambda_1^i\,\lambda_2^{k-i}$$$$\quad=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\frac{1}{k!}\sum\limits_{i=0}^k\binom{k}{i}\cdot\lambda_1^i\,\lambda_2^{k-i}=e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}\frac{1}{k!}(\lambda_1+\lambda_2)^k$$$$\quad=\frac{(\lambda_1+\lambda_2)^k}{k!}e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}$$
Die Verteilung der Summe \(X_1+X_2\) von zwei unabhängigen Poisson-verteilten Zufallsvariablen ist selbst also wieder Poisson-verteilt:$$X_1\sim\mathcal P(\lambda_1)\quad;\quad X_2\sim\mathcal P(\lambda_2)\quad\Rightarrow\quad X_1+X_2\sim\mathcal P(\lambda_1+\lambda_2)$$
Für die jährlich in den \(n\) Ländern an Tollwut erkrankten Menschen gilt also:$$X\sim\mathcal P(\lambda)\quad;\quad X=\sum\limits_{i=1}^n X_i\quad;\quad \lambda=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i$$
