Gammaverteilung und Poissonverteilung mit P(X≤x) = P(Y≥n)

Question

Guten Tag liebe Community ich habe hier folgende Aufgabe:

Aufgabe:

Es seinen n∈ℕ eine natürliche Zahl, X~Γ(n,λ) eine Gamma-verteilte Zufallsvariable und Y~Pois(λx) für ein x>0, Zeigen Sie, dass: P(X≤x) = P(Y≥n).

Problem/Ansatz:

Also X~Γ(n,λ). d.h. f(x)= \( \frac{λ^{n}} {Γ(n)} \) · \( x^{n-1} \) · \( e^{-λx} \)  für x>0 ;

und Y~Pois(λx), das heißt der stochastische Vektor ist π(k)= \( e^{-λx} \)·\( \frac{(λx)^{k}}{k!} \).

Ist es bis hierhin richtig?

Allerdings kann ich leider nicht so viel mit den Ausdrücken P(X≤x) und P(Y≥n) anfangen. Könnte mir vielleicht jemand helfen? Vielen Dank für eure Hilfe.

Answer 1

Dann schau nochmal die Definition von Verteilungsfunktionen nach. Es gilt \(F(x)\, :\!=P(X\leq x) \). Für die Gammaverteilung solltest du lieber direkt mit \(F\) arbeiten, da die die Verteilung stetig ist. Und für die Poissonverteilung nutzt du die Summe von n bis unendlich, summierst also die Wahrscheinlichkeiten auf, da diskret.