Wie komme ich von der Koordinatengleichung auf die Parametergleichung?

Question

Aufgabe:

Parametergleichung

Problem/Ansatz:

Wie komme ich von der Koordinatengleichung auf die Parametergleichung?

Answer 1

Setze Zahlen für alle bis auf eine Variable ein. Löse nach der verbleibenden Variable auf. Jetzt hast du einen Punkt, der in der Ebene liegt.

Bestimme so zwei weitere Punkte, die in der Ebene liegen. Achte darauf, dass die Punkte nicht auf einer Geraden liegen.

Eine mögliche Parametergleichung der Ebene, in der die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) liegen, lautet

        \(\vec{x}=\vec{OA} + r\cdot\vec{AB}+s\cdot\vec{AC}\).

Answer 2

hallo

 schreib die x,,y,z Komponenten auf und eliminiere die Faktoren bei den Richtungsvektoren.

alternativ: Kreuzprodukt der 2 Richtungsvektoren gibt einen Normalenvektor n dann n*x=d und d durch einsetzen eines Punktes bestimmen.

Gruß lul

Comments

Kreuzprodukt der 2 Richtungsvektoren gibt einen Normalenvektor n dann n*x=d und d durch einsetzen eines Punktes bestimmen.

Das wäre eine Art "Rezept", wie man von einer Parameterdarstellung einer Ebene im Raum zu einer Koordinatengleichung gelangen kann.

Verlangt ist aber genau das Umgekehrte !

Answer 3

Aloha :)

Ich mach das an folgendem Beispiel vor:$$E:\,6x-3y+2z=-5$$

Suche dir eine Koordinate aus und stelle die Gleichung danach um. Ich wähle hier die \(z\)-Koordinate.$$2z=-5-6x+3y\quad\Rightarrow\quad z=-\frac{5}{2}-3x+\frac{3}{2}y$$

Damit sind wir im Prinzip fertig, müssen das nur noch geschickt aufschreiben:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\-\frac{5}{2}-3x+\frac{3}{2}y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac{5}{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x\\0\\-3x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\y\\\frac{3}{2}y\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-\frac{5}{2}\end{pmatrix}+x\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-3\end{pmatrix}+y\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\\frac{3}{2}\end{pmatrix}$$Jetzt kannst du das Ergebnis noch schöner schreiben, z.B. den zweiten Richtungsvektor zum Startpunkt addieren und danach den zweiten Richtungsvektor verdoppeln:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}$$