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Aufgabe:

Ein Unterraum U von Kn heiße permutations-invariant, wenn mit jedem Vektor (x1,...,xn) ∈ U auch (xπ(1),...,xπ(n)) ∈ U ist für  jede  Permutation π ∈ Sn.  Zeigen  Sie:  Ist U ein permutations-invarianter Unterraum des Kn, der den  Vektor c:=  (1,1,1,...,1)  enthält, dann  ist  entweder U = span(c) = Kc oder U = Kn.

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Hallo,

Da \( c \in U \) ist \( \operatorname{Span}(c) \subseteq U \).

Falls \( \operatorname{Span}(c) = U \) ist nichts zu zeigen.

Andernfalls ist \( \operatorname{Span}(c) \subsetneq U \), also existiert ein \( v = (v_1,...,v_n)^T \in U\setminus \operatorname{Span}(c) \). Da \( v \notin \operatorname{Span}(c) \) existieren Indizes \( i < j \) mit \( v_i \neq v_j \). Wir betrachten jetzt den Vektor $$ w := \frac{1}{v_j-v_i}(v - v_i c) = \frac{1}{v_j-v_i}\begin{pmatrix} v_1 - v_i\\\vdots\\ v_{i-1} - v_i \\ 0 \\ v_{i+1} - v_i \\\vdots \\ v_{j-1} - v_i \\ v_j - v_i \\ v_{j+1} - v_i \\\vdots\\v_n - v_i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1\\\vdots\\ w_{i-1} \\ 0 \\ w_{i+1}  \\\vdots \\ w_{j-1} \\ 1 \\ w_{j+1} \\\vdots\\w_n  \end{pmatrix} $$ wobei \( w_k := \frac{1}{v_j-v_i} ( v_k - v_i ) \), \( w_i = 0\), \( w_j = 1 \).

Notation: \( \sigma \in S_n \), \( x = (x_1,...,x_n) \in U \), dann sei \( \sigma \cdot x := (x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(n)}) \).

Sei nun \( l \in \{ 1,...,n-1 \} \) (wegen \( ( c,v ) \) linear unabhängig ist in diesem Fall \( n \ge 2 \) ). Wir betrachten die Permutationen \( \sigma_1 := (l\quad i) \circ ((l+1)\quad j ) \) und \( \sigma_2 := (l\quad j) \circ ((l+1)\quad i ) \) dann ist der Vektor $$ u_l :=\underbrace{\sigma_1 \cdot w}_{\in U} - \underbrace{\sigma_2 \cdot w}_{\in U} = \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\1\\-1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\begin{matrix}\\\\\\\leftarrow l. \text{ Komponente }\\\\\\\\\\\end{matrix} $$ ein Element von \( U \), d.h. \( u_l \in U \).

Den Rest überlasse ich dir: Zeige, dass \( (c, u_1,...,u_{n-1}) \) linear unabhängig ist, daraus folgt dann direkt, dass \( \dim U = n\) und deshalb auch \( U = K^n \).

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hallo, danke für deine Antwort. Ich versteh nicht genau bei welchen Vektoren ich zeigen soll, dass sie Linear Unabhängig sind, ich weiß Vektoren sind dann Linear Unabhängig wenn man sie gleich 0 setzt und sie trivial sind

Für n = 2 sehen die Vektoren so aus:

(1,1), (1,-1)

Für n = 3 so:

(1, 1, 1), (1, -1, 0), (0,1, -1)

Für n = 4 so

(1, 1, 1,1), (1, -1, 0,0), (0,1, -1,0), (0,0,1,-1)

Für n= 5 so:

(1, 1, 1,1,1), (1, -1, 0,0,0), (0,1, -1,0,0), (0,0,1,-1,0), (0,0,0,1,-1)

Du solltest das System jetzt erkennen. Beweise nun, dass diese Vektoren für alle n linear unabhängig sind.

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