Vollständige Indugtion Ungleichung n * √n > n + √n

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen \( n \geq 3 \) erfüllt ist:
$$ n \cdot \sqrt{n}>n+\sqrt{n} $$

 Soweit habe ich es gemacht. Aber ich komm leider nicht weiter.

Comments

Bem.: \(3 + \sqrt 3 \ne \sqrt{12}\). Es ist vielmehr$$\begin{aligned}\sqrt{27} \gt 5\gt 3 + \sqrt 3  \space \checkmark\end{aligned}$$

Answer 1

Hallo,

beginne mit dem linken Teil und forme ihn unter Benutzung der Voraussetzung zun rechten Term um:$$\begin{aligned} (n+1)\sqrt{n+1} &= n \sqrt{n+1} + \sqrt{n+1} &&\left|\, \sqrt{n+1} \gt \sqrt n \right. \\ &\gt n \sqrt{n} + \sqrt{n+1} && \left|\, n \sqrt{n} \gt n + \sqrt n\right.\\ &\gt n + \sqrt n + \sqrt{n+1} && \left|\, \sqrt n \gt 1\right.\\ &\gt (n + 1) + \sqrt{n+1} \\ & \text{q.e.d.} \end{aligned}$$

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vielen Danke Dir !

Answer 2

Betrachten wir einmal den Term auf der linken Seite (der im Induktionsschritt zu beweisenden Ungleichung) und formen ihn etwas um:

(n+1) · √(n+1) =  n · √(n+1)  +  √(n+1)

Wegen n ≥ 3 ist (n+1) ≥ 4 und deshalb wegen der Monotonie der Wurzelfunktion

√(n+1) ≥ √(4) = 2

Ferner ist (ebenfalls aus demselben Grund)   √(n+1) >  √(n) .

Damit folgt:

(n+1) · √(n+1) >  n · 2  +  √(n+1)  =  n + n + √(n+1)

und wegen n > 1 :

(n+1) · √(n+1) >   (n+1) + √(n+1)

Damit ist der Induktionsschritt durchgeführt.