Wie viele Elemente haben folgende Potenzmenge

Question

Aufgabe:

Wie viele Elemente haben folgende Potenzmengen

\( \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))) \text { und } \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\{1\}))) ? \)

Kann mir die Aufgabe erklären?

Das erste ist doch ein element

Das zweite sind 2 elemente?

Answer 1

Aloha :)

Die Menge \(M\) hat \(\#M\) Elemente und ihre Potenzmenge \(\mathcal P(M)\) hat \(\#\mathcal P(M)=2^{\#M}\) Elemente.

Für den ersten Teil kann man das noch gut aufschreiben:$$\mathcal P(\emptyset)=\{\emptyset\}$$$$\mathcal P(\mathcal P(\emptyset))=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$$$$\mathcal P(\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)))=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\{\emptyset\}\}, \{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}$$$$\#\mathcal P(\mathcal P(\mathcal P(\emptyset)))=2^{2^{2^0}}=4$$Beim zweiten Teil möchte ich mir das explizite Aufschreiben gerne sparen, denn$$\#\mathcal P(\mathcal P(\mathcal P(\{1\})))=2^{2^{2^1}}=16$$

Answer 2

Wenn eine Menge M  eine Anzahl von n Elementen hat, so hat die Potenzmenge ℙ(M)

2ⁿ  Elemente.

In der Aufgabe werden Potenzmengen geschachtelt.