iteratives Newtonverfahren nichtlineares Gleichungssystem

Question

\( F(x)=\left[\begin{array}{c}f_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right) \\ f_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\ 0\end{array}\right], x=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right] \)
\( \operatorname{mit} f_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)=4 x_{1}^{2}+9 x_{2}^{2}-36 \) und \( f_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}-1\right)^{2}+\left(x_{2}+2\right)^{2}-9 \)

Meine Aufgabe besteht nun darin, durch eine grafische Darstellung einen Näherungswert x0 zu bestimmen. Mit x0 sollen dann 3 Schritte des zweidimensionalen Newtonverfahrens durchgeführt werden. 

Zum iterativen Newtonverfahren habe ich folgendes gefunden:

1. Man wählt einen Anfangswert \( \boldsymbol{x}_{0} \in \dot{D} \)
2. Man berechnet \( \boldsymbol{x}_{1}, \boldsymbol{x}_{2}, \boldsymbol{x}_{3}, \ldots, \boldsymbol{x}_{k}, \ldots, \) indem man nacheinander für \( k=0,1,2, \ldots \)
das Gleichungssystem
\( \boldsymbol{f}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}_{k}\right) \boldsymbol{z}_{k+1}=-\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_{k}\right) \)
nach \( \boldsymbol{z}_{k+1} \) auflöst und \( \boldsymbol{x}_{k+1}:=\boldsymbol{x}_{k}+\boldsymbol{z}_{k+1} \) bildet. Dabei wird \( \boldsymbol{f}^{\prime}\left(\boldsymbol{x}_{k}\right) \) als regulär und
\( \boldsymbol{x}_{k} \in \dot{D} \) für \( k=0,1,2, \ldots \) vorausgesetzt.
3. Das Verfahren wird abgebrochen, wenn \( \left\|\boldsymbol{x}_{k+1}-\boldsymbol{x}_{k}\right\| \) unterhalb einer vorgegebenen
Genauigkeitsschranke liegt oder eine vorgegebene maximale Iterationszahl erreicht
ist.

Wie dieses Verfahren auf meine Aufgabe anwende, ist mir nicht klar. Wenn mir hierbei jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar! 

Answer 1

Hallo unixmelo,

(3,0) sieht doch nach einem guten Startpunkt aus.

Wir berechnen die Jacobi-Matrix (bzw. \( F') \):

$$ J_F(x_1,x_2) = F'(x_1,x_2) = \begin{pmatrix}  8x_1 & 18 x_2\\  2x_1 - 2 & 2x_2 + 4\end{pmatrix} $$

Löse jetzt das LGS:

$$ J_F(3,0) \cdot \mathbf{z}_1 = -F(3,0) \iff  \begin{pmatrix}  24 & 0\\  4 & 4\end{pmatrix} \cdot \mathbf{z}_1  = \begin{pmatrix}  0 \\  1\end{pmatrix} \iff \mathbf{z}_1  = \begin{pmatrix}  0 \\ \frac{1}{4}\end{pmatrix} $$

Also \( \mathbf{x}_1 = \mathbf{x}_0 + \mathbf{z}_1 = \begin{pmatrix}  3 \\ \frac{1}{4}\end{pmatrix} \)

Die nächsten 2 Schritte kannst du bestimmt selbst. Es sollte \( \mathbf{x}_3 = \begin{pmatrix}  2.974878 \\ 0.258286 \end{pmatrix} \) rauskommen.

Comments

Hey MatHaeMatician, vielen Dank für deine Antwort, das hat mir sehr geholfen!

Wie hast du z1 berechnet? 

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Ich habe das LGS gelöst:

$$ \begin{pmatrix}  24 & 0\\  4 & 4\end{pmatrix} \cdot \mathbf{z}_1  = \begin{pmatrix}  0 \\  1\end{pmatrix} $$

Das geht z.B. mit dem Gaußsches Eliminationsverfahren:

$$ \left(\begin{matrix}  24 & 0\\  4 & 4\end{matrix} ~\middle|~ \begin{matrix}  0 \\  1\end{matrix}\right) \sim \left(\begin{matrix}  1 & 0\\  1 & 1\end{matrix} ~\middle|~ \begin{matrix}  0 \\  \frac{1}{4}\end{matrix}\right) \sim  \left(\begin{matrix}  1 & 0\\  0 & 1\end{matrix} ~\middle|~ \begin{matrix}  0 \\ \frac{1}{4}\end{matrix}\right) $$

1. Zeile durch 24 teilen, 2. Zeile durch 4 teilen.

Anschließend die erste Zeile von der zweiten Teile abziehen.

Wenn links die Einheitsmatrix steht, steht rechts die Lösung. Das Verfahren sollte dir aber eigentlich bekannt sein?

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Stimmt! :)

ich bedanke mich vielmals bei dir.

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Ich hätte leider noch eine kleine Frage:

Wieso ist das LGS   = (0,1) ?

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Der Startwert ist \( \mathbf{x}_0 =  \begin{pmatrix}  3 \\ 0\end{pmatrix}\), der erste Iterationsschritt lautet:

$$ J_F( \mathbf{x}_0 ) \mathbf{z}_1 = - F( \mathbf{x}_0 ) $$

Wenn du x₀ in F einsetzt, erhältst du eben \( F(3,0) = \begin{pmatrix}  4\cdot3^2 + 9\cdot 0^2 -36 \\ (3-1)^2 + (0+2)^2-9\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}  0 \\ -1\end{pmatrix}\)

Somit: \(- F( \mathbf{x}_0 ) = \begin{pmatrix}  0 \\ 1\end{pmatrix} \).

Answer 2

Hier ein Rechenbeispiel. Es gibt natürlich zwei Lösungen.