Elektronische Werkzeuge haben vieles, was früher noch von Hand oder im Kopf gerechnet werden musste, sehr stark vereinfacht. Damit werden einige Verfahren des Rechnens im heutigen Mathematikunterricht nicht mehr vermittelt. Das ist aus verschiedenen Gründen nicht nur gut für das Lernen von Mathematik. Unter anderem gehen in diesem Zusammenhang auch viele Gelegenheiten verloren, etwas zu entdecken. In folgenden wird dargestellt, wie die inzwischen nicht mehr vermittelte Kenntnis von Teilbarkeitsregel zu einer Entdeckung führen konnte.
Zunächst definieren wir:
Die n–Quersumme einer Zahl z entsteht, wenn die Ziffern von z bei den Einern beginnend in Blöcke zu n Ziffern zerlegt werden und diese addiert werden. Die 1-Quersumme heißt kurz Quersumme.
Beispiel: Die 3-Quersumme von 4567872 ist 004+567+872=1443 (unvollständige Blöcke werden mit Nullen aufgefüllt).
Dann gilt der Satz:
Eine Zahl z ist durch einen Teiler t von 10n-1 teilbar, wenn die n-Quersumme von z durch t teilbar ist.
Beispiel: 103-1=999 hat insbesondere den Teiler 37. Die 3-Quersumme von 4567872 ist 1443 (s.o.). 1443 hat ebenfalls insbesondere den Teiler 37. Also ist 4567872 durch 37 teilbar.
Entsprechend definieren wir die alternierende n-Quersumme:
Die alternierende n–Quersumme einer Zahl z entsteht, wenn wir die Ziffern von z bei den Einern beginnend in Blöcke zu n Ziffern zerlegen und diese abwechselnd von links beginnend subtrahieren und addieren. Die alternierende 1-Quersumme heißt kurz alternierende Quersumme.
Beispiel: 50433999 hat die alternierende 3-Quersumme -050+433-999= - 616= - 8·7·11.
Und es gilt der Satz:
Eine Zahl z ist durch einen Teiler t von 10n+1 teilbar, wenn die alternierende n-Quersumme von z durch t teilbar ist.
Beispiel: 103+1=1001=7·11·13. Und 50433999 hat die alternierende 3-Quersumme - 616= - 8·7·11 (s.o.). Also ist 50433999 durch 7 und durch 11 teilbar.
Hat man Teilbarkeitsregeln für Primzahlen gefunden, braucht man nach Teilbarkeitsregeln für zusammengesetzte Zahlen nicht mehr zu suchen. Für die 2 und die 5 gibt es Endstellenregeln und keine Quersummenregeln. Für die übrigen unter den kleinsten 12 Primzahlen suchen wir die Quersummenregel über folgende Liste:
Teiler Term mit diesem Teiler Quersummenregel mit
3 101-1 1-Quersumme
7 103+1 alternierende 3-Quersumme
11 103+1 alternierende 3-Quersumme
13 103+1 alternierende 3-Quersumme
17 108+1 alternierende 8-Quersumme
19 109+1 alternierende 9-Quersumme
23 1011+1 alternierende 11-Quersumme
29 1014+1 alternierende 14-Quersumme
31 1015-1 15-Quersumme
37 103-1 3-Quersumme
Diese Tabelle zeigt für die Teiler 7, 17, 19, 23, 29 und 31 ein erkennbares Muster:
Halbiert man den um 1 verminderten Teiler, so erhält man den Exponenten eines Terms mit diesem Teiler.
Die mathematische Beschreibung dieses Musters lautet
p ist Teiler von \( 10^{\frac{p-1}{2}} \) +1 oder von \( 10^{\frac{p-1}{2}} \) – 1.
Nach der dritten binomischen Formel gilt dann:
p ist Teiler von \( 10^{\frac{p-1}{2}} \) +1 · \( 10^{\frac{p-1}{2}} \) – 1=
\( 10^{p-1} \) -1.
Nun können wir prüfen, ob dies auch für die noch verbliebenen Primzahlen aus obiger Liste gilt und gelangen zu der Hypothese:
Für Primzahlen p≠2 oder p≠5 gilt: p ist Teiler von \( 10^{p-1} \) -1.
Teilbarkeitsregeln haben offenbar einen starken Bezug zum Dezimalsystem. Daher drängt sich die Frage auf, ob es auch in anderen Zahlensystemen entsprechende Teilbarkeitsregeln gibt.
Ein Beispiel: 105010=100000110102 und (102)3-1=1112=710. Im Falle direkter Übertragung der oben genannten Teilbarkeitsregen auf das binäre System müsste nun gelten: Eine Zahl z2 des binären Systems ist durch 710 teilbar, wenn die 3-Quersumme von z2 durch 710=1112 teilbar ist. 100000110102 hat die 3-Quersumme 010+000+011+010=1112. Und 1112 ist durch 710=1112 teilbar. Dann ist auch 105010=100000110102 durch 1112 bzw. durch 710 teilbar.
Weitere Beispiele dieser Art erhärten die Hypothese dass folgender Satz gilt:
Eine Zahl z2 ist durch einen Teiler t von 2n-1 teilbar, wenn die n-Quersumme von z2 durch t teilbar ist.
Schließlich sehen wir so Anlass, folgende Hypothese zu erhärten:
Eine Primzahl p ist Teiler von 2p-1-1 und stellen fest, dass das für p≠2 gilt.
Nun kennen wir kein Halten mehr und prüfen diese Hypothese auch für andere natürliche Basen außer 10 und 2. Dabei stellen wir fest, dass die gefundene Regel nur für die Teiler der Basis nicht gilt. Daher formulieren wir die Hypothese:
Sei p Primzahl und a kein Vielfaches von p, dann gilt: p ist Teiler von ap-1-1.
Dies ist der Kleine Satz von Fermat, dessen Beweis im Internet zu finden ist.
