Hallo, ich will folgende Aufgabe lösen:
K, L ⊂ ℝn sind kompakte Mengen bezüglich der Standardmetrik. Man zeige, dass $$K+L:=\{k+l: k \in K, l \in L\}$$ eine kompakte Menge bezüglich der Standardmetrik ist.
Lösungsansatz:
Da die Mengen K, L und K+L Teilmengen von ℝn sind und wir bezüglich der Standardmetrik messen, reicht zum Nachweis der Kompaktheit das Kriterium "abgeschlossen und beschränkt".
Zur Abgeschlossenheit:
Wir nehmen an, dass cn eine in ℝn konvergente Folge mit cn ∈ K+L ist. Per Definition ist cn = kn+ln mit kn ∈ K und ln ∈ L. Da K und L kompakt sind, besitzen die Folgen kn und ln konvergente Teilfolgen. Sei ni eine Indizierung von ℕ, so dass kni und lni konvergieren. Dann gilt $$\lim _{i \rightarrow \infty} k_{n_{i}}=k \in K, \lim _{i \rightarrow \infty} l_{n_{i}}=l \in L.$$
Da cn nach Annahme konvergent ist, konvergiert jede Teilfolge gegen den selben Wert und somit gilt $$\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=\lim _{i \rightarrow \infty} c_{n_{i}}=\lim _{i \rightarrow \infty} k_{n_{i}}+l_{n_{i}}=k+l \in K+L.$$
Somit konvergiert die Folge cn gegen einen Punkt, der in A+B liegt und ist abgeschlossen.
Zur Beschränktheit:
Hierbei tu ich mich schwer. Mein Ansatz wäre es, Konstante cK und cL zu nehmen, die K und L beschränken, also d(x, y) ≤ cK für alle x, y ∈ K und d(x, y) ≤ cL für alle x, y ∈ L.
Die würde ich dann zerlegen in x = xK+xL und y = yK+yL mit xK, yK ∈ K und xL, yL ∈ L.
Falls das richtig ist, würde ich d(x, y) ≤ |(yK+yL)-(xK+xL)| erhalten und versuchen, das in eine Form zu bringen, in der d(x, y) ≤ (cK+cL) ist, oder?
Oder ist mein Ansatz für die Beschränktheit komplett falsch?
