Vektorfeld und Funktionalmatrix

Question

Gegeben ist ein Vektorfeld mit \( \vec{F}: U \rightarrow \mathbb{R}^{3}\left(\operatorname{mit} U \subseteq \mathbb{R}^{3}\right) \) 

$$ \vec{F}(x, y, z)=f(r)\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) $$
\( \operatorname{mit} r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \)

Es lässt sich mit einer stetig differenzierbaren Funktion \( f: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R} \) schreiben.

Hierbei soll es sich um ein Zentralfeld handeln und es soll die Funktion \(f\) aus der obigen Gleichung bestimmt werden und zusätzlich eine Funktionalmatrix von (\vec{F}(x, y, z)\) berechnet und untersucht werden für welche \((x,y,z) \in \mathbb{R}^3\) die Abbildung total differenzierter ist.

Mein Ansatz:

$$\vec{F}(\vec{r})=\vec{F}(x,y,z)\vec{e}_x+\vec{F}(x,y,z)\vec{e}_y+\vec{F}(x,y,z)\vec{e}_z=\begin{pmatrix} F_x(x,y,z)\\F_y(x,y,z)\\F_z(x,y,z) \end{pmatrix}$$

Ich habe das Prinzip dahinter leider noch nicht so verstanden und wäre über Hilfe sehr dankbar!

Answer 1

Aloha :)

Die Funktionalmatrix bzw. Jacobi-Matrix \(\mathbf J\) lautet hier:$$\mathbf J=\begin{pmatrix}\frac{\partial F_x}{\partial x} & \frac{\partial F_x}{\partial y} & \frac{\partial F_x}{\partial z}\\\frac{\partial F_y}{\partial x} & \frac{\partial F_y}{\partial y} & \frac{\partial F_y}{\partial z}\\\frac{\partial F_z}{\partial x} & \frac{\partial F_z}{\partial y} & \frac{\partial F_z}{\partial z}\end{pmatrix}$$Mit der Kettenregel und der Produktregel berechnen wir:$$\frac{\partial F_x}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x\,f(r)\right)=f(r)+x\,\frac{\partial f(r)}{\partial x}=f(r)+x\frac{\partial f(r)}{\partial r}\,\frac{\partial r}{\partial x}=f(r)+xf'(r)\frac{\partial r}{\partial x}$$$$\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x\,f(r)\right)=x\,\frac{\partial f(r)}{\partial y}=x\frac{\partial f(r)}{\partial r}\,\frac{\partial r}{\partial y}=xf'(r)\frac{\partial r}{\partial y}$$$$\frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(x\,f(r)\right)=x\,\frac{\partial f(r)}{\partial z}=x\frac{\partial f(r)}{\partial r}\,\frac{\partial r}{\partial z}=xf'(r)\frac{\partial r}{\partial z}$$Nach analoger Rechnung für \(F_y\) und \(F_z\) lautet die Funktionalmatrix:$$\mathbf J=\begin{pmatrix}x\,f'(r)\frac{\partial r}{\partial x}+f(r) & x\,f'(r)\,\frac{\partial r}{\partial y} & x\,f'(r)\,\frac{\partial r}{\partial z}\\y\,f'(r)\frac{\partial r}{\partial x} & y\,f'(r)\,\frac{\partial r}{\partial y}+f(r) & y\,f'(r)\,\frac{\partial r}{\partial z}\\z\,f'(r)\frac{\partial r}{\partial x} & z\,f'(r)\,\frac{\partial r}{\partial y} & z\,f'(r)\,\frac{\partial r}{\partial z}+f(r)\end{pmatrix}$$Schreiben wir \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) können wir weiter rechnen$$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\cdot2x=\frac{x}{r}$$und analog für \(\frac{\partial r}{\partial y}\) bzw. \(\frac{\partial r}{\partial z}\), sodass

$$\mathbf J=\begin{pmatrix}\frac{x^2}{r}f'(r)+f(r) & \frac{xy}{r}f'(r) & \frac{xz}{r}f'(r)\\\frac{xy}{r}f'(r) & \frac{y^2}{r}f'(r)+f(r) & \frac{yz}{r}f'(r)\\\frac{xz}{r}f'(r) & \frac{yz}{r}f'(r) & \frac{z^2}{r}f'(r)+f(r)\end{pmatrix}$$

Da \(f\) stetig differenzierbar und \(r\ne0\) ist, ist die Jacobi-Matrix überall im Definitionsbereich definiert und damit die Funktion \(\vec F\) total differenzierbar auf ihrem gesamten Definitionsbereich.

Comments

Vielen lieben Dank!!

War denn mein Ansatz zur Aufstellung der Funktion richtig?

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Bei der Auftstellung der Funktion kannst du \(f(r)\) als Skalar betrachten, der mit einem Vektor multipliziert wird:$$\vec F(\vec r)=f(r)\cdot\vec r=f(r)\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xf(r)\\yf(r)\\zf(r)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}F_x(r)\\F_y(r)\\F_z(r)\end{pmatrix}$$