Aloha :)
Du kannst die Existenz eines Potentials \(\phi(\vec r)\) prüfen, indem du die Rotation des Vektorfeldes \(\vec u(\vec r)\) berechnest. Ist diese \(=\vec 0\), existiert ein Potential \(\vec u(\vec r)=\operatorname{grad}\phi(\vec r)\).
Existiert ein Potential \(\phi(\vec r)\), ist das Wegintegral über das Vektorfeld \(\vec u(\vec r)\) unabhängig vom gewählten Weg zwischen zwei Punkten. Nur die Koordinaten von Start- und Endpunkt sind relevant:$$E=\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r_1}\vec u(\vec r)\,d\vec r=\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r_1}\operatorname{grad}(\phi)\,d\vec r=\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r_1}\frac{d\phi}{d\vec r}\,d\vec r=\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r_1}d\phi=\phi(\vec r_2)-\phi(\vec r_1)$$ Daher kannst du zur Bestimmung des Potentials \(\phi(\vec r)\) einen beliebigen Weg von einem geeigneten Anfangspunkt zum Endpunkt \((x;y;z)\) wählen und das Wegintegral bestimmen. Je nach Wahl des Anfangspunktes, erhältst du eine andere Integrationskonstante, die du bei der Angabe des Potentials auch weglassen kannst. Das ist oben im Integral der Term \(\phi(\vec r_1)\), der subtrahiert wird.
Hier sieht man das Potenzial aber auch ohne Rechnung sofort:$$\phi(x;y;z)=x^2+x^3y^2-5\ln(z)$$Da du es nur bestimmen und nicht berechnen sollst, dürfte das reichen ;)
