Quadrik in Hauptachsenlage umformen

Question

Aufgabe:

Die Quadrik soll in Hauptachsenlage transformiert werden. Mit dazugehörige Transformation angegeben werden

\( 25x^{2} \) + 120xy + \( 144y^{2} \) +130x + 312y = 0

Problem/Ansatz:

Welche Schritte müssen getan werden um die Quadrik umzuformen?

Answer 1

Zusammenfassung https://www.geogebra.org/m/jybmgrce

Matrixgleichung formulieren

x^T A x + a^Tx + a0 =0

\( q_A:\left(\begin{array}{ll}x & y\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}25 & 60 \\ 60 & 144\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr}130 & 312\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=0 \)

Drehung S in achsenparallele Lage aus Eigenvektoren der Matrix erzeugen.

Drehung S (gemischter Summand xy eliminiert)
x^TS^-1A S x + a^TS x + a0 =0 ==> x^TD x + a^TS x + a0

in Ursprung verschieben, (quadratische ergänzung)

===> x^2=1

ein paar paralleler Geraden