Wie transformiert man eine Quadrik?

Question

Aufgabe:

Transformiere sie die folgende Quadriken in Hauptachslage:

\( 25x^{2} \) + 120xy + \( 144y^{2} \) + 130x + 312y = 0

Bestimmen sie den Typ der jeweiligen Normalform + gebe die dazugehörige Transformation an.
Problem/Ansatz:

Um die gegebene Quadrik in Hauptachsenlage zu transformieren, müssen wir sie zunächst durch eine geeignete lineare Transformation umformen, um die gemischten Termen zu eliminieren (die Terme xy, x, und y). Dann führen wir eine Translation durch, um die linearen Terme zu beseitigen.

Die endgültige Form der Quadrik in Hauptachsenlage ist bei mir \( 25^{ \prime \prime 2} \) + \( 144^{ \prime \prime 2} \) = 0

Kann mir jemand das bestätigen bzw. helfen?

Comments

Was bedeutet 25"^2?

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\( 25x^{ \prime \prime 2} \) + \( 144y^{ \prime \prime 2} \) = 0

meinte ich

Answer 1

Da kommen wir nicht zusammen

Quadric \( R^{2} \quad \\q_A:=25 x^{2}+120 x y+144 y^{2}+130 x+312 y=0  \to q_N: \, x^{2} - 1 = 0\)

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#chapter/367809

\(\scriptsize \left\{ \left(\begin{array}{rrr}x&y&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}\frac{-5}{13}&\frac{-12}{13}&0\\\frac{12}{13}&\frac{-5}{13}&0\\\frac{-5}{13}&\frac{-12}{13}&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrr}25&60&65\\60&144&156\\65&156&0\\\end{array}\right) \;\left(\begin{array}{rrr}\frac{-5}{13}&\frac{12}{13}&\frac{-5}{13}\\\frac{-12}{13}&\frac{-5}{13}&\frac{-12}{13}\\0&0&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{r}x\\y\\1\\\end{array}\right) \right\} \)

Comments

wie sind sie darauf gekommen

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Schau Dir den Link an, da sind

- eine kompakte, auf homogene KO beruhende Lösung, siehe oben

- und 2 Lösungen im R² mit ausführlicher Beschreibung

kannst Du die Frage auf den Punkt bringen, was genau unklar ist?

Answer 2

Ich habe mal den Wolf Ram gefragt:

https://www.wolframalpha.com/input?i=25x%5E2+%2B+120xy+%2B+144y%5E2%2B+130x+%2B+312y+%3D+0