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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Teil 1) Du hast die Bedingung \(\operatorname{rot}(\vec v)=\vec 0\), die \(f(x;y;z)\) erfüllen muss, bereits selbst genannt. Lass uns doch mal ausrechnen, was das konkret bedeutet:$$\vec 0\stackrel!=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}f(x;y;z)\\4yz+\sin x\\x^3+2y^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\partial_zf-3x^2\\\cos x-\partial_yf\end{pmatrix}\implies\red{\partial_zf=3x^2}\;;\;\green{\partial_yf=\cos x}$$Aus der roten Bedingungen gewinnen wir einen Ansatz für \(f(x;y;z)\) durch Integration über \(z\):$$\red{\partial_zf\stackrel!=3x^2}\implies f(x;y;z)=3x^2z+c(x;y)$$Die Integrations"konstante" \(c(x;y)\) muss nur bezüglich der partiellen Ableitung nach \(z\) konstant sein, darf also noch von \(x\) und \(y\) abhängen.
Nun haben wir einen Ansatz für \(f(x;y;z)\), den wir in die grüne Bedingung einsetzen:$$\green{\cos x\stackrel!=\partial_yf}=\partial_y\left(3x^2z+c(x;y)\right)=\partial_y c(x;y)\implies c(x;y)=y\cos x+C(x)$$Die Integrations"konstante" \(C(x)\) muss nur bezüglich der Ableitung nach \(y\) konstant sein, darf also noch von \(x\) abhängen.
Damit haben wir die allgemeinste Form der Funktion \(f(x;y;z)\) gefunden:$$\pink{f(x;y;z)=3x^2z+y\cos x+C(x)}$$mit einer beliebigen differenzierbaren Funktion \(C(x)\).
Teil 2) Nun sollen wir uns eine dieser Funktionen \(f(x;y;z)\) aussuchen und dafür das Potential von \(\vec v\) bestimmen. Wir wählen natürlich \(C(x)=0\), sodass wir uns folgendes Vektorfeld ausgesucht haben:$$\vec v=\begin{pmatrix}3x^2z+y\cos x\\4yz+\sin x\\x^3+2y^2\end{pmatrix}$$Für das gesuchten Potential \(\varphi(x;y;z)\) muss also gelten:$$\red{\partial_x\varphi=3x^2z+y\cos x}\quad;\quad\green{\partial_y\varphi=4yz+\sin x}\quad;\quad\blue{\partial_z\varphi=x^3+2y^2}$$
Wir gehen nun genauso vor wie oben bei der Bestimmung von \(f(x;y;z)\). Um einen Ansatz für \(\varphi(x;y;z)\) zu erhalten, integrieren wir die blaue Gleichung über \(z\) und erhalten eine "Konstante" \(c(x;y)\):$$\blue{\partial_z\varphi=x^3+2y^2}\implies\varphi(x;y;z)=x^3z+2y^2z+c(x;y)$$Wir setzen unseren Ansatz in die rote Gleichung ein, integrieren über \(x\) und erhalten eine "Konstante" \(C(y)\):$$\red{3x^2z+y\cos x\stackrel!=\partial_x\varphi}=\partial_x(x^3z+2y^2z+c(x;y))=3x^2z+\partial_xc(x;y)\implies$$$$\partial_xc(x;y)=y\cos x\implies c(x;y)=y\sin x+C(y)$$Wir notieren kurz unseren Zwischenstand:$$\varphi(x;y;z)=x^3z+2y^2z+y\sin x+C(y)$$und ermitteln \(C(y)\) durch Einsetzen in die grüne Gleichung:$$\green{4yz+\sin x\stackrel!=\partial_y\varphi}=\partial_y(x^3z+2y^2z+y\sin x+C(y))=4yz+\sin x+C'(y)\implies$$$$C'(y)=0\implies C(y)=\text{const}$$Wir wählen \(C(y)=0\) und haben ein mögliches Potential für \(\vec v\) gefunden:$$\pink{\varphi(x;y;z)=x^3z+2y^2z+y\sin x}$$
