Zeige, dass die Menge M nicht konvex ist. Zeige weiterhin, dass das Vektorfeld dennoch ein Potential auf M besitzt

Question

Gegeben sei die Menge M:= ℝ³ \ {(0,t,0) | t∈ℝ} und das Vektorfeld

\( \vec{v} \) : M→ ℝ³, (x,y,z) ↦ ( \( \frac{z^2 - x^2}{(x^2 + z^2)^2} \))

                                  (      0      )

                                  ( \( \frac{-2xz}{(x^2 + z^2)^2} \))

Zeige, dass die Menge M nicht konvex ist. Zeige weiterhin, dass \( \vec{v} \)

 dennoch ein Potential auf M besitzt, indem du alle Potentiale von \( \vec{v} \) berechnest.

Problem/Ansatz:

- Menge M ist nicht konvex, da (0,t,0) nicht in der Menge enthalten ist.

Man kann zwei Punkte verbinden, wo die Verbindungsstrecke nicht in der Menge liegt, also durch (0,t,0) geht

rot \( \vec{v} \) = (0,0,0)

grad(4)= -\( \vec{v} \)

Wie löst man diese Aufgabe? Werden irgendwie nicht schlau draus...

Comments

Hallo,

die Aussage über die fehlende Konvexität würde ich konkreter klären, also 2 Punkte konkret benennen, deren Verbindung durch die ausgeschlossene Halbgerade geht.

Was das Potenzial angeht: Wenn es ein solches Potential P(x,y,z) gibt, dann muss die partielle Ableitung von P gleich der 3. Komponente des Feldes sein. Aus dieser Bedingung kannst du leicht durch Integration nach z die allgemeine Gestalt von P bestimmen ....

Oder habt Ihr sonst eine bestimmte Methode zur Bestimmung eines Potentials benutzt?

Gruß