Zeigen Sie: Es existiert ein Polynom P(t) = brtr + · · · + b1t + b0 ∈ K[t],

Question

Sei  A ∈ K^n×n beliebig. Zeigen Sie: Es existiert ein Polynom P(t) = b_rt^r + · · · + b₁t + b₀ ∈ K[t], so dass: b_rA^r + · · · + b₁A + b₀E_n = 0, wobei E_n ∈ K^n×n die Einheitsmatrix ist

Answer 1

Hallo,

man sollte natürlich das Nullpolynom ausschließen, sonst ist die Behauptung trivial.

Die $n \times n$ -Matrizen über $K$ bilden einen $K$-Vektorraum der Dimension $\color{green}{ n^2 }$. Jetzt betrachtet man die $\color{red}{ n^2 + 1 }$ Matrizen ($\widehat{=}$ Vektoren in diesem Vektorraum)

$$E_n, ~A, ~A^2, ~A^3, ~..., ~A^{n^2}$$

Was kann man folgern?

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