Während der Covid-Pandemie bekommen wir keine Lösungsbesprechung, sondern müssen uns diese anhand der Musterlösung selbstständig erarbeiten. Ich habe hier eine Musterlösung, die ich nicht verstehe.
Aufgabe:
X sei eine ℝ+ -wertige Zufallsvariable mit Dichte 2 \( \frac{1}{\sqrt{2π}} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) da a ≥ 0. Berechne den Erwartungswert und die Varianz von X
Problem/Ansatz:
Erstmal der Erwartungswert. Laut Musterlösung wie folgt
E [X] = \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) \( \int\limits_{0}^{\infty} \) a \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) da
= \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) stammf( \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) ,0,\infty)
= \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \)
Ich verstehe nicht wie man von \( \int\limits_{0}^{\infty} \) a \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) da auf stammf( \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) ,0,\infty) kommt.
Das Integral von a² ist doch \( \frac{1}{2} \) a². Warum verschwindet a plötzlich vor dem e?
Diesen Schritt verstehe ich nicht. Kann mir das jemand erklären.
Sobald man dann auf gekommen ist, würde ich dann wie folgt auf das in der Musterlösung geforderte = \( \frac{\sqrt{2π}}{2} \) kommen wollen:
\( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = 1
dann durch 2 teilen
\( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = \( \frac{1}{2} \)
und mit \sqrt{2π} multiplizieren
\( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = \( \frac{1}{2} \) \sqrt{2π}
= \( \frac{\sqrt{2π}}{2} \)
Aber darf man das? Weil = 1 setzten, macht man normalerweise nur mit der Varianz.
zu Varianz: Da steht in der Musterlösung.
E [X²] = \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) \( \int\limits_{0}^{\infty} \) a^{2} \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) da
= \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) \( \frac{1}{\sqrt{2π}} \)a^{2} \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = 1 und damit Var [X] = 1 - ( \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) )² = 1 - \( \frac{2}{π} \)
Also mach ich hier wieder das gleiche Spielchen wie in a) \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{1}{\sqrt{2π}} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = 1
und dann wieder geteilt durch 2
\( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{1}{\sqrt{2π}} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = \( \frac{1}{2} \)
mit \sqrt{2π} multiplizieren
\( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = \( \frac{1}{2} \) \sqrt{2π}
und das wäre ja dann wieder = \( \frac{\sqrt{2π}}{2} \)
Und wie komt man darauf auf?
Var [X] = 1 - ( \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) )² = 1 - \( \frac{2}{π} \)
