Berechne den Erwartungswert und die Varianz von X

Question

Während der Covid-Pandemie bekommen wir keine Lösungsbesprechung, sondern müssen uns diese anhand der Musterlösung selbstständig erarbeiten. Ich habe hier eine Musterlösung, die ich nicht verstehe.

Aufgabe:

X sei eine ℝ₊ -wertige Zufallsvariable mit Dichte 2 \( \frac{1}{\sqrt{2π}} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) da a ≥ 0. Berechne den Erwartungswert und die Varianz von X

Problem/Ansatz:

Erstmal der Erwartungswert. Laut Musterlösung wie folgt

E [X] = \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) \( \int\limits_{0}^{\infty} \) a \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) da

=  \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) stammf( \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) ,0,\infty)

= \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \)

Ich verstehe nicht wie man von \( \int\limits_{0}^{\infty} \) a \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) da auf stammf( \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) ,0,\infty) kommt.

Das Integral von a² ist doch \( \frac{1}{2} \) a². Warum verschwindet a plötzlich vor dem e?

Diesen Schritt verstehe ich nicht. Kann mir das jemand erklären.

Sobald man dann auf gekommen ist, würde ich dann wie folgt auf das in der Musterlösung geforderte = \( \frac{\sqrt{2π}}{2} \) kommen wollen:

 \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = 1

dann durch 2 teilen

\( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = \( \frac{1}{2} \)

und mit \sqrt{2π} multiplizieren

 \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = \( \frac{1}{2} \) \sqrt{2π}

= \( \frac{\sqrt{2π}}{2} \)

Aber darf man das? Weil = 1 setzten, macht man normalerweise nur mit der Varianz.

zu Varianz: Da steht in der Musterlösung.

E [X²] = \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) \( \int\limits_{0}^{\infty} \) a^{2} \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) da

= \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \)  \( \frac{1}{\sqrt{2π}} \)a^{2} \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = 1 und damit Var [X] = 1 - ( \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) )² = 1 - \( \frac{2}{π} \)

Also mach ich hier wieder das gleiche Spielchen wie in a) \( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{1}{\sqrt{2π}} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = 1 

und dann wieder geteilt durch 2

\( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( \frac{1}{\sqrt{2π}} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = \( \frac{1}{2} \)

mit \sqrt{2π} multiplizieren

\( \int\limits_{0}^{\infty} \) \( e^{\frac{a^{2}}{2}} \) = \( \frac{1}{2} \) \sqrt{2π}

und das wäre ja dann wieder = \( \frac{\sqrt{2π}}{2} \)

Und wie komt man darauf auf?

Var [X] = 1 - ( \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) )² = 1 - \( \frac{2}{π} \)

Answer 1

Du hast ein Produkt zu Integrieren. Und das bedeutet nicht das man jeden Faktor getrennt integrieren kann.

Benutze zur Hilfe: https://www.integralrechner.de/

Comments

Danke für die Antwort, Mathecoach.

Integralrechner hab ich probiert. Gestern wurde mir aber irritierenderweise kein Rechenweg angezeigt, wenn ich drauf gedrückt habe. Jetzt geht es wieder.

Ich verstehe, dass \( \frac{a^2}{2} \) durch u substitutiert wird.  \( \frac{a^2}{2} \) differenziert ergit a Dann \( \frac{du}{da} \) = a, bzw. nach a umgeformt: da =  \( \frac{1}{a} \)du.

Aber wieso haben wir jetzt \( \frac{1}{a} \)du berechnet, wenn das später nie wieder auftaucht?

Diese Regel für die Expotentialfunktion verstehe ich auch nicht. Klar, \( e^{u} \) ist differenziert wieder \( e^{u} \), das leuchtet ein. Aber wieso haben wir dann \( \frac{1}{a} \) berechnet? Wir hätten doch gleich sagen können:

Beim Integrieren ist der Konstante Faktor a egal. Wir integrieren nur die e-Funktion. Substituieren den Exponenten \( \frac{a^2}{2} \) durch u und da 
\( e^{u} \) integriert wieder \( e^{u} \) ergibt, rücksubstitutieren wir \( \frac{a^2}{2} \) und erhalten \( e^{\frac{a^2}{2}} \).

In der Musterlösung steht jedoch - \( e^{\frac{a^2}{2}} \).  Ein Fehler?

Und wie kommt man dann von \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \) * [ - \( e^{\frac{a^2}{2}} \).] .. (diese eckigen Klammern sollen die Integral-Klammern von 0 bis Unendlich darstellen) auf \( \frac{2}{\sqrt{2π}} \). Also warum wird - \( e^{\frac{a^2}{2}} \) von 0 bis unendlich integriert zu 1?

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Aber wieso haben wir jetzt da = 1/a du berechnet, wenn das später nie wieder auftaucht?

Du substituierst das da durch 1/a du und damit fällt das a vor dem e weg. ansonsten würde das dort stehenbleiben.

Beim Integrieren ist der Konstante Faktor a egal.

Wenn a ein konstanter Faktor wäre dann wäre der komplette ausdruck ein konstanter Faktor. Auch der e-Term.

a ist hier schon die Variable nach der Integriert werden soll. Was man auch an dem da des Integrals erkennen kann.

In der Musterlösung steht jedoch - e^(a^2/2).  Ein Fehler?

Nein. Eher ist in der Aufgabenstellung ein Fehler. Warum kann

2/√(2·pi)·e^(a^2/2) für a ∈ [0 ; ∞[ wohl keine Dichtefunktion sein?