Aufgabe:
Wir betrachten folgendes Spiel mit 3 Würfeln. Ein Spieler setzt einen Einsatz auf eine der Zahlen \( 1, \ldots, 6 \). Der Einsatz ist verloren, falls keiner der drei Würfel die gewettete Zahl zeigt. Anderenfalls erhält der Spieler seinen Einsatz zurück und zusätzlich als Gewinn die Höhe des Einsatzes für jeden Würfel, der die gewettete Augenzahl zeigt. Sei also \( G \) die Zufallsvariable, die den Gewinn des Spieles angibt (d.h. \( G=-1,1,2,3 \) je nachdem, ob kein, ein, zwei bzw. drei Würfel die gewettete Augenzahl zeigen).
1. Berechnen Sie den Erwartungswert von \( G \).
2. Berechnen Sie die Varianz von \( G \).
3. Wir betrachten nun zwei Runden dieses Spiels und drei Spieler mit unterschiedlichen Strategien. Seien \( X_{1}, \ldots, X_{6} \) der Gewinn, wenn in der ersten Runde auf die Zahl \( 1, \ldots, 6 \) gewettet wird. Analog seien \( Y_{1}, \ldots, Y_{6} \) der Gewinn, wenn in der zweiten Runde auf die Zahl 1, .., 6 gewettet wird. Der Spieler \( A \) setzt in der ersten Runde den doppelten Einsatz auf die Zahl 6 und nichts in der zweiten Runde (d.h. ist \( G_{A} \) die Zufallsvariable, die den Gewinn des Spielers A angibt, so gilt \( G_{A}=2 X_{6} \) ). Der Spieler \( B \) setzt in der ersten Runde jeweils einen Einsatz auf die 1 und auf die 6, setzt in Runde zwei auch aus (d.h. \( G_{B}=X_{1}+X_{6} \) ). Schließlich wettet der Spieler \( C \) jeweils in der ersten und zweiten Spielrunde den normalen Einsatz auf 6 (d.h. \( \left.G_{C}=X_{6}+Y_{6}\right) \).
Vergleichen Sie die drei Strategien bezüglich ihres Erwartungswertes und ihrer Varianz.
Problem/Ansatz:
Wäre mein Ansatz und Rechnungen korrekt? Bin mir bei dieser Aufgabe unsicher. Vielen Dank.
1. Berechnung des Erwartungswertes von \( G \)
Betrachtete Ereignisse:
Kein Würfel zeigt die gewettete Zahl: \( G=-1 \)
Ein Würfel zeigt die gewettete Zahl: \( G=1 \)
Zwei Würfel zeigen die gewettete Zahl: \( G=2 \)
Drei Würfel zeigen die gewettete Zahl: \( G=3 \)
lede Würfelzahl (1-6) hat eine Wahrscheinlichkeit von \( \frac{1}{6} \). Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Würfel die gewettete Zahl zeigt, \( \frac{1}{6} \), und nicht zeigt, \( \frac{5}{6} \).
Wahrscheinlichkeiten für die Gewinne:
Kein Würfel zeigt die Zahl:
\( P(G=-1)=\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=\frac{125}{216} \)
Genau ein Würfel zeigt die Zahl:
\( P(G=1)=\binom{3}{1} \cdot\left(\frac{1}{6}\right) \cdot\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=3 \cdot \frac{25}{216}=\frac{75}{216} \)
Genau zwei Würfel zeigen die Zahl:
\( P(G=2)=\binom{3}{2} \cdot\left(\frac{1}{6}\right)^{2} \cdot\left(\frac{5}{6}\right)=3 \cdot \frac{5}{216}=\frac{15}{216} \)
Alle drei Würfel zeigen die Zahl:
\( P(G=3)=\left(\frac{1}{6}\right)^{3}=\frac{1}{216} \)
Erwartungswert:
\( \begin{aligned} E(G)= & (-1) \cdot \frac{125}{216}+1 \cdot \frac{75}{216}+2 \cdot \frac{15}{216}+3 \cdot \frac{1}{216} \\ & =-\frac{125}{216}+\frac{75}{216}+\frac{30}{216}+\frac{3}{216} \\ & =\frac{-125+75+30+3}{216}=\frac{-17}{216} \end{aligned} \)
2. Berechnung der Varianz von \( G \)
Die Varianz ist definiert als:
\( \operatorname{Var}(G)=E\left(G^{2}\right)-(E(G))^{2} \)
Zuerst berechnen wir \( E\left(G^{2}\right) \) :
\( \begin{array}{c} E\left(G^{2}\right)=(-1)^{2} \cdot \frac{125}{216}+1^{2} \cdot \frac{75}{216}+2^{2} \cdot \frac{15}{216}+3^{2} \cdot \frac{1}{216} \\ =\frac{125}{216}+\frac{75}{216}+\frac{60}{216}+\frac{9}{216} \\ =\frac{269}{216} \end{array} \)
letzt die Varianz:
\( \begin{array}{c} \operatorname{Var}(G)=\frac{269}{216}-\left(\frac{-17}{216}\right)^{2} \\ =\frac{269}{216}-\frac{289}{46656} \\ =\frac{12506496}{46656}-\frac{289}{46566} \\ =\frac{12506207}{46656} \end{array} \)
3. Vergleich der Strategien \( A, B \) und \( C \)
Spieler \( A \) :
\( \begin{array}{c} E\left(G_{A}\right)=2 E\left(X_{6}\right)=2 \cdot \frac{-17}{216}=\frac{-34}{216}=-\frac{17}{108} \\ \operatorname{Var}\left(G_{A}\right)=4 \operatorname{Var}\left(X_{6}\right)=4 \cdot \frac{12506207}{46656} \end{array} \)
Spieler \( B \) :
\( \begin{array}{c} E\left(G_{B}\right)=E\left(X_{1}\right)+E\left(X_{6}\right)=2 \cdot \frac{-17}{216}=-\frac{34}{216}=-\frac{17}{108} \\ \operatorname{Var}\left(G_{B}\right)=\operatorname{Var}\left(X_{1}\right)+\operatorname{Var}\left(X_{6}\right) \end{array} \)
Spieler \( C \) :
\( \begin{array}{c} E\left(G_{C}\right)=E\left(X_{6}\right)+E\left(Y_{6}\right)=2 \cdot \frac{-17}{216}=-\frac{34}{216}=-\frac{17}{108} \\ \operatorname{Var}\left(G_{C}\right)=2 \operatorname{Var}\left(X_{6}\right) \end{array} \)
Vergleich:
Alle drei Spieler haben den gleichen Erwartungswert von \( -\frac{17}{108} \), aber unterschiedliche Varianzen. Spieler \( A \) hat die gröBte Varianz, da der doppelte Einsatz gemacht wird. Spieler \( B \) hat die kombinierte Varianz von zwei Einsätzen, während Spieler \( C \) eine mittlere Varianz mit zwei identischen Einsätzen über zwei Runden hat.
