sei V ein normierter Raum, I ⊂ R ein kompaktes Intervall und M ⊂ V eine Teilmenge

Question

Die Aufgabe lautet:

sei V ein normierter Raum, I ⊂ R ein kompaktes Intervall und M ⊂ V eine Teilmenge. ist dann die Aussage: Wenn K ⊂ V kompakt und A ⊂ K abgeschlossen ist, dann ist A kompakt. richtig oder falsch ?

ich komme leider absolut nicht voran würde mich freuen wenn ihr mir weiterhelfen könntet..

Answer 1

Hallo,

Mir ist nicht ganz klar, für was das Intervall zu gebrauchen ist.

Ich berufe mich auf:

Wenn K ⊂ V kompakt und A ⊂ K abgeschlossen ist, dann ist A kompakt.

Jeder normierte Raum ist mit der durch die Norm induzierten Metrik ein metrischer Raum. Ich werde mit der Überdeckungskompaktheitsdefinition arbeiten. Sei \(\mathcal{U}=\{U_i\}_{i\in I}\) (wobei \(I\) eine Indexmenge sei) eine Überdeckung von \(A\). Da \(A\) abgeschlossen, ist \(A\setminus K\) offen. Dann bilden \(A\setminus K\) und \(\mathcal{U}\) eine Überdeckung von \(K\). Da \(K\) kompakt ist, exisitiert für \(K\) eine endliche Teilüberdeckung \(\{A\setminus K , U_{i_1}, ...,U_{i_r}\}\). Da \(K\) eine Obermenge von \(A\) ist und diese durch die eben genannte Menge vollständig überdeckt wird, wird \(A\) von \(\{U_{i_1}, ...,U_{i_r}\}\) auch bereits vollständig (endlich) überdeckt.