Es sei (V, k · k) ein normierter Raum, x ∈ X und r > 0. Beweise die folgenden Aussagen:

Question

Aufgabe:

a) Br(x) = Kr(x).
b) Kr(x)◦ = Br(x).
c) ∂Br(x) = ∂Kr(x) = {y ∈ V : ky − xk = r}.

Wobei Kr(x) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} und Br(x) = {y ∈ X : d(x, y) < r} gilt.

Problem/Ansatz:

Answer 1

  a) ist also schonmal falsch. B ist doch nicht das selbe wie K .

Answer 2

Da stimmt was nicht :

a) Sei x∈X

Br(x) ⊆ Kr(x) ist klar, weil aus d(x,y)<r auch d(x,y)≤r folgt.

Kr(x) ⊆ Br(x) ist allerdings falsch. Gegenbeispiel:

ℝ^2 und x=(0;0) dann ist y=(1;0) ∈ K₁(x)  wegen d(x,y)=1

aber nicht aus B₁(x)  weil 1 < 1 falsch ist.