Vektorfelder im R^2 auf Konservativität prüfen

Question

Ich soll wegintegrale von verschiedenen vektorfeldern ausrechnen. Aber um es mir einfacher zu machen will ich überprüfen, ob das Feld

\( v(x, y)=\left(\begin{array}{c}\sin y \\ x \cos y\end{array}\right) \)

Konservativ ist.

Dafür wollte ich die Rotation ausrechnen und schauen ob diese null ist. Dafür hätte ich die letzte koordinierte z=0 gesetzt und dann herausbekommen das die Rotation 0 ist, also das Feld konservativ ist.

Darf ich das? Oder mache ich es mir zu einfach und wenn das falsch ist, wie kann ich feststellen ob das Feld konservativ ist?

Answer 1

Hallo Felicia,

du hast korrekt den Vektor \( v_2 = (v_x, v_y) \) um eine gedachte \( z \)-Komponente zum Vektor \( v_3 = (v_x, v_y, v_z) \) ergänzt. Die Rotation von \( v_2 \) ist dann die z-Komponente der Rotation von \( v_3 \). Da diese nur von \( v_x \) und \( v_y \) abhängt, kann man vereinfachend \( v_z = 0 \) wählen.

Ist die Rotation von \( v_2 \) null, so ist \( v_2 \) ein konservatives Feld, wie du richtig erkennst:

\( \mathrm{rot}(v_2) = \frac{d v_y}{dx} - \frac{d v_x}{dy} = \cos(y) - \cos(y) = 0 \).

Hier versteckt sich implizit die Integrabilitätsbedingung \( \frac{d v_y}{dx} = \frac{d v_x}{dy} \). Als Potential \( \varphi \) mit \( \varphi = \nabla v \) ergibt sich

\( \varphi = \int v_x dx = \int v_y dy = x \sin(y) \).



Mister

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