Einheiten im Polynomring Z[x] aus?

Question

Aufgabe:

Verständnisfrage: Ich habe eine Frage zu Einheiten. Für den Ring der ganzen Zahlen gibt es ja die Einheiten 1, -1 und für Z[i] eben vier Einheiten.

Aber wie sieht das zum Beispiel für einen Polynomring Z[x] aus? Kann ich da auf die Einheiten von Z schauen und das übertragen? Aber hat Z[x] dann nur die zwei "klassischen" Einheiten 1 und -1?

Answer 1

Hallo,

für einen Integritätsbereich R stimmen die Einheitengruppen überein: \( R^* = R[x]^*\).

In ℤ[x] gibt es also auch nur die Einheiten +1 und -1.

Falls R nicht nullteilerfrei ist gilt das im allgemeinen aber nicht z.B. in (ℤ/4ℤ)[x] ist $$ (2x+1)^2 = 4x^2+4x+1 = 1 $$ insbesondere ist \( 2x+1 \notin (ℤ/4ℤ) \) eine Einheit.

Comments

Das verstehe ich jetzt nicht. Wie kann 2x+1 kein Element des Ringes (Z/4Z) sein, aber gleichzeitig eine Einheit für (Z/4Z)?

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Ich denke, es ist so zu verstehen, dass es Einheiten in R[x] gibt, die nicht in R liegen. Sprich, es ist R* ⊂ R[x]* (statt R* = R[x]*).

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Ja genau, darauf wollte ich hinaus: Für \(R=ℤ/4ℤ \) gilt \( R^* \subsetneq R [x]^* \).