Aussagen von quadratische Matrizen beweisen

Question

Aufgabe:

Es seien beliebige quadratische Matrizen A und B mit Einträgen aus C gegeben. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
(a) det(A) ∈ R =⇒ alle Einträge in A sind reell.

(b) A^3 =0=⇒A=0.
 (c)A^3=0=⇒(E−A)^-1 =E+A+A^2.

(d) A = (aij) mit (Re(aij)) und (Im(aij)) invertierbar =⇒ A invertierb

Answer 1

Zu (a):  \(\det\begin{pmatrix}0&0\\0&\mathrm i\end{pmatrix}=0\in\mathbb R\).

Answer 2

zu b)

[0, 0; 1, 0]^3 = [0, 0; 0, 0]

zu c)

(E − A)^(-1) = E + A + A^2
E·(E − A)^(-1) = E + A + A^2
E = E·(E − A) + A·(E − A) + A^2·(E − A)
E = E − A + A - A^2 + A^2 − A^3
E = E − A^3
A^3 = E − E
A^3 = 0