Aussagen zu Matrizen beweisen oder widerlegen

Question

Sei K ein Körper und sei n ∈ ℕ_≥1. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Die Menge {(a_ij)_1≤i,j≤n ∈ M_n(K) | a₁₁ = a₂₂ = ··· = a_nn } ist ein Untervektorraum des K-Vektorraumes M_n(K).

(b) In M₂(ℤ₃) gibt es genau acht Matrizen in Zeilenstufenform.

(c) Für jede quadratische Matrix A ∈ M_n(K) gilt |L(A,b)| ≤ 1 für alle b ∈ Kⁿ.

(d) Seien a₁,...,a_n ∈ Kⁿ und A ∈ M_n(K) die Matrix mit Spalten a₁,...,a_n. Dann ist (a₁,...,a_n) genau dann linear unabhängig, wenn det(A) != 0 gilt.

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo

 wie man UVR zeigt solltest du wissen, die VR Axiome nachweisen.

b) du hast 3 Plätze auf die du die Zahlen 1 und 2 verteilen kannst, also 2^3 Möglichkeiten, du kannst sie auch einfach alle schnell hinschreiben

c) nimm an die det sei 0 dann kannst du sie umformen, so dass eine Nullzeile entsteht, d.h die Vektoren sind abhängig. wenn keine entsteht nicht.

oder du nimmst das lineare GS das die Unabhängig. zeigt, das hat nur die Lösung 0, wenn  det !=0

Gruß lul