Aloha :)
Wir bezeichnen die Anzahl der roten Kugeln mit \(x\). Insgesamt gibt es dann \(10+x\) Kugeln in der Urne. Wir tun so, als würden die Kugeln der Reihe nach gezogen und müssen daher auf die Reihenfolge achten. Die Wahrscheinlichkeit, im ersten Zug eine schwarze und im zweiten Zug eine rote Kugel zu ziehen ist:$$p(SR)=\frac{10}{10+x}\cdot\frac{x}{9+x}$$Die Reihenfolge könnte natürlich auch umgekehrt sein, also erst die rote, dann die schwarze Kugel$$p(RS)=\frac{x}{10+x}\cdot\frac{10}{9+x}$$Insgesamt ist also die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze und eine rote Kugel:
$$p(SR\text{ oder }RS)=\frac{10}{10+x}\cdot\frac{x}{9+x}+\frac{x}{10+x}\cdot\frac{10}{9+x}=\frac{20x}{(10+x)(9+x)}$$$$\phantom{p(SR\text{ oder }RS)}=\frac{20x}{90+9x+10x+x^2}=\frac{20x}{90+19x+x^2}$$Diese Wahrscheinlichkeit soll gleich \(\frac{2}{11}\) sein:
$$\left.\frac{20x}{90+19x+x^2}\stackrel{!}{=}\frac{2}{11}\quad\right|\;\text{Kehrwerte}$$$$\left.\frac{90+19x+x^2}{20x}=\frac{11}{2}\quad\right|\;\cdot20x$$$$\left.90+19x+x^2=110x\quad\right|\;-110x$$$$\left.x^2-91x+90=0\quad\right|\;\text{faktorisieren}$$$$\left.(x-90)(x-1)=0\quad\right.$$Es gibt also zwei mögliche Lösungen: Es ist 1 rote Kugel in der Urne oder es sind 90 rote Kugeln in der Urne.
