Wie viele rote Kugeln liegen in der Urne?

Question

In einer Urne liegen 7 blaue, 8 grüne und \( x \) rote Kugeln. Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dabei 2 blaue Kugeln zu erhalten ist um \( \frac{11}{190} \) grösser als die Wahrscheinlichkeit, 2 rote Kugeln zu erhalten. Wie viele rote Kugeln liegen in der Urne?

Problem/Ansatz:

Bitte kann mir jemand helfen die Aufgabe zu lösen bzw. mir die Rechenwege erklären wie man auf diese Lösungen kommt.
Danke

Comments

Du bestimmst Terme für die beide Wahrscheinlichkeiten und formulierst damit dann eine passende Bruchgleichung.

Answer 1

Insgesamt 15+x Kugeln.

Blau:

$$ p_B=\frac{7}{15+x}\cdot\frac{6}{14+x} $$

Rot:

$$ p_R=\frac{x}{15+x}\cdot\frac{x-1}{14+x} $$

$$ p_B=p_R+\frac{11}{190} $$

$$ \frac{7}{15+x}\cdot\frac{6}{14+x}=\frac{x}{15+x}\cdot\frac{x-1}{14+x}+\frac{11}{190} $$

Nun könnte man diese Gleichung lösen.

Ich lasse sie auf mich wirken und denke, dass x=5 ein guter Kandidat wäre, da dann \(20\cdot 19=380\), also das Doppelte von 190, im Nenner steht.

$$ \frac{7}{15+5}\cdot\frac{6}{14+5}=\frac{42}{380}$$

$$\frac{5}{15+5}\cdot\frac{5-1}{14+5}+\frac{11\cdot2}{190\cdot 2}=\frac{20+22}{380}=\frac{42}{380}~~~ \checkmark$$

Es sind 5 rote Kugeln.

PS: Die zweite Lösung ist negativ und entfällt deshalb.    :-)

Answer 2

In einer Urne liegen 7 blaue, 8 grüne und x
rote Kugeln. Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dabei 2 blaue Kugeln zu erhalten ist um 11/190 grösser als die Wahrscheinlichkeit, 2 rote Kugeln zu erhalten.

blau = 7 / ( 15 + x )
2.blaue = 6 / ( 14 + x )
beide blau : 7 / ( 15 + x ) * 6 / ( 14 + x )

rot = x / ( 15 + x )
2.rote = ( x - 1 ) / ( 15 + x  -1 ) = ( x - 1 ) / ( 14 + x   )
beide rot :  x / ( 15 + x ) * ( x - 1 ) / ( 14 + x  )

blau - rot = 11/190

7 / ( 15 + x ) * 6 / ( 14 + x ) - x / ( 15 + x ) * ( x - 1 ) / ( 14 + x  ) = 11/190
x = 5 rote Kugeln