Zeige, dass Norm auf R^2 definiert ist und nicht von einem Skalarprodukt induziert wird

Question

Hallo, kann mir bitte jemand bei den beiden Teilaufgaben einen Lösungsweg aufzeigen. Ich komme absolut nicht weiter.

Für einen Vektor \( x=\left(x_{1} x_{2}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{2} \) setzen wir
$$ \|x\|_{1}:=\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right| $$
1) Zeige, dass \( \|\cdot\|_{1} \) eine Norm auf dem \( \mathbb{R}^{2} \) definiert.
2) Zeige, dass die Norm \( \|\cdot\|_{1} \) nicht von einem Skalarprodukt induziert wird.

Answer 1

1)

Hier müssen wir Dreierlei zeigen:

(1) ||(0,0)||=|0|+|0|=0 und ||x||>0 für alle x≠0, letzteres folgt als Eigenschaft des Bertags.

(2) ||αx||=|αx_{1}|+|αx_{2}|=|α||x_{1}|+|α||x_{2}|=|α|(|x_{1}|+|x_{2}|)=|α|*||x|| (Nutze Betragseigenschaften)

(3) ||x+y||=|x_{1}+y_{1}|+|x_{2}+y_{2}|≤|x_{1}|+|y_{1}|+|x_{2}|+|y_{2}|=||x||+|y||

2)

Jede von einem Skalarprodukt induzierte Norm erfüllt die Parallelogrammidentität:

||v+w||^2+||v-w||^2=2(||v||^2+||w||^2)

Such mal ein \(v\) und \(w\), so dass das nicht erfüllt ist - ein Gegenbeispiel reicht.

Comments

Dem Ganzen kann ich folgen, nur habe ich jetzt einiges ausprobiert und irgendwie kein Gegenbeispiel finden können?.

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v=(1,0) und w=(0,-1)

||(1,0)+(0,-1)||^2+||(1,0)-(0,-1)||^2 = 2^2+2^2 = 8

2(||(0,1)||^2+||(0,-1)||^2)=2(1+1) = 4